関数 $y = \frac{1}{1-x}$ のマクローリン展開を $x^3$ の項まで求める問題です。画像には、導関数の計算途中と、$x=0$ における導関数の値の一部が示されています。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{1-x}$ のマクローリン展開を $x^3$ の項まで求める問題です。画像には、導関数の計算途中と、$x=0$ における導関数の値の一部が示されています。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = (1-x)^{-1}$ の3次導関数 $f'''(x)$ を求めます。

$f''(x) = 2(1-x)^{-3}$ より、

$f'''(x) = 2 \cdot (-3) (1-x)^{-4} \cdot (-1) = 6(1-x)^{-4}$ となります。　これが画像中の①です。

次に、$f'''(0)$ の値を計算します。

$f'''(0) = 6(1-0)^{-4} = 6$ となります。　これが画像中の②です。

マクローリン展開は、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

で与えられます。

問題文より、$f(0) = f'(0) = 1$, $f''(0) = 2$ が与えられています。

また、$f'''(0) = 6$ であることを計算しました。

したがって、$x^3$ の項までのマクローリン展開は、

$f(x) = 1 + 1 \cdot x + \frac{2}{2!}x^2 + \frac{6}{3!}x^3 + \dots$

$= 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$　　これが画像中の③です。

① $6(1-x)^{-4}$

② $6$

③ $1+x+x^2+x^3$