与えられた逆三角関数を微分する問題です。 (1) $y = \sin^{-1}\frac{x}{4}$ (2) $y = \sin^{-1}\frac{x}{\sqrt{2}}$

問題の画像にある関数を微分する問題ですね。

今回は、(1)と(2)の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた逆三角関数を微分する問題です。

(1) $y = \sin^{-1}\frac{x}{4}$

(2) $y = \sin^{-1}\frac{x}{\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

逆三角関数の微分公式を利用します。

$\frac{d}{dx} \sin^{-1} u = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$

(1) $y = \sin^{-1}\frac{x}{4}$ の場合:

$u = \frac{x}{4}$ とおくと、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{4}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{4})^2}} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4\sqrt{1 - \frac{x^2}{16}}} = \frac{1}{4\sqrt{\frac{16-x^2}{16}}} = \frac{1}{4 \cdot \frac{\sqrt{16-x^2}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{16-x^2}}$

(2) $y = \sin^{-1}\frac{x}{\sqrt{2}}$ の場合:

$u = \frac{x}{\sqrt{2}}$ とおくと、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{\sqrt{2}})^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{1 - \frac{x^2}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{\frac{2-x^2}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2-x^2}}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2-x^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{16-x^2}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{2-x^2}}$