関数 $y = \sin^{-1} \frac{x}{4}$ を微分してください。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、(1) の問題を解きます。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^{-1} \frac{x}{4}$ を微分してください。

2. 解き方の手順

$\sin^{-1} u$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$ です。

この問題では、$u = \frac{x}{4}$ です。まず、$\frac{du}{dx}$ を計算します。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{4} \right) = \frac{1}{4}$

次に、$y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{4})^2}} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4\sqrt{1 - \frac{x^2}{16}}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4\sqrt{\frac{16 - x^2}{16}}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4 \cdot \frac{\sqrt{16 - x^2}}{4}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{16 - x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{16 - x^2}}$