与えられた問題は、2次関数に関するいくつかの問題です。具体的には、2次関数のグラフの頂点の座標、平行移動後の関数の式、最大値、x軸との共有点の個数、2次不等式の解を求める問題です。 (1) $y = 2x^2 + 4x - 3$ の頂点の座標を求める。 (2) $y = 2x^2$ を x軸方向に 3, y軸方向に -4 平行移動した式を求める。 (3) $y = -x^2 + 4x$ の最大値を求める。 (4) $y = 3x^2 - 5x + 1$ とx軸の共有点の個数を求める。 (5) $y = -2x^2 + x - 3$ とx軸の共有点の個数を求める。 (6) $x^2 - 6x - 16 \le 0$ の解を求める。 (7) $x^2 + x - 6 > 0$ の解を求める。

はい、承知いたしました。与えられた画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた問題は、2次関数に関するいくつかの問題です。具体的には、2次関数のグラフの頂点の座標、平行移動後の関数の式、最大値、x軸との共有点の個数、2次不等式の解を求める問題です。

(1) $y = 2x^2 + 4x - 3$ の頂点の座標を求める。

(2) $y = 2x^2$ を x軸方向に 3, y軸方向に -4 平行移動した式を求める。

(3) $y = -x^2 + 4x$ の最大値を求める。

(4) $y = 3x^2 - 5x + 1$ とx軸の共有点の個数を求める。

(5) $y = -2x^2 + x - 3$ とx軸の共有点の個数を求める。

(6) $x^2 - 6x - 16 \le 0$ の解を求める。

(7) $x^2 + x - 6 > 0$ の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める：

$y = 2x^2 + 4x - 3$ を平方完成します。

$y = 2(x^2 + 2x) - 3$

$y = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) - 3$

$y = 2(x + 1)^2 - 2 - 3$

$y = 2(x + 1)^2 - 5$

したがって、頂点の座標は $(-1, -5)$ です。

(2) 平行移動後の関数の式：

$y = 2x^2$ を x軸方向に 3, y軸方向に -4 平行移動すると、

$y + 4 = 2(x - 3)^2$

$y = 2(x - 3)^2 - 4$

$y = 2(x^2 - 6x + 9) - 4$

$y = 2x^2 - 12x + 18 - 4$

$y = 2x^2 - 12x + 14$

(3) 最大値を求める：

$y = -x^2 + 4x$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 4x)$

$y = -(x^2 - 4x + 4 - 4)$

$y = -(x - 2)^2 + 4$

したがって、最大値は $4$ です。

(4) 共有点の個数を求める：

$y = 3x^2 - 5x + 1$ とx軸との共有点の個数は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ の符号で決まります。

$D = (-5)^2 - 4(3)(1) = 25 - 12 = 13 > 0$

したがって、共有点の個数は $2$ 個です。

(5) 共有点の個数を求める：

$y = -2x^2 + x - 3$ とx軸との共有点の個数は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ の符号で決まります。

$D = (1)^2 - 4(-2)(-3) = 1 - 24 = -23 < 0$

したがって、共有点の個数は $0$ 個です。

(6) 2次不等式の解を求める：

$x^2 - 6x - 16 \le 0$

$(x - 8)(x + 2) \le 0$

したがって、$-2 \le x \le 8$ です。

(7) 2次不等式の解を求める：

$x^2 + x - 6 > 0$

$(x + 3)(x - 2) > 0$

したがって、$x < -3$ または $x > 2$ です。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標：$(-1, -5)$

(2) 平行移動後の関数の式：$y = 2x^2 - 12x + 14$

(3) 最大値：$4$

(4) 共有点の個数：$2$ 個

(5) 共有点の個数：$0$ 個

(6) 解：$-2 \le x \le 8$

(7) 解：$x < -3$ または $x > 2$