ベクトル $\vec{a} = (-1, 2)$ に垂直な単位ベクトルを求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (-1, 2)$ に垂直な単位ベクトルを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a}$ に垂直なベクトルを求める。ベクトル $\vec{v} = (x, y)$ が $\vec{a}$ に垂直であるとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{v} = 0$ が成り立ちます。

$(-1)x + 2y = 0$

$x = 2y$

よって、$\vec{a}$ に垂直なベクトルの一つとして、$\vec{v} = (2, 1)$ が挙げられます。一般には $k(2, 1)$ （$k$ はスカラー）と表せます。

(2) $\vec{v}$ の単位ベクトルを求める。単位ベクトルとは、大きさが1のベクトルのことです。$\vec{v}$ の大きさ $|\vec{v}|$ は、

$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

となります。

したがって、$\vec{v}$ の単位ベクトル $\vec{e}$ は、

$\vec{e} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{(2, 1)}{\sqrt{5}} = (\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}})$

となります。

(3) もう一つの垂直な単位ベクトルを求める。$\vec{a}$ に垂直な単位ベクトルは、上記で求めた $\vec{e}$ の他に、$-\vec{e}$ も該当します。なぜなら $-\vec{e}$ の大きさも1であり、$\vec{a} \cdot (-\vec{e}) = - (\vec{a} \cdot \vec{e}) = 0$ となるからです。

$-\vec{e} = (-\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}})$

3. 最終的な答え

$\vec{a} = (-1, 2)$ に垂直な単位ベクトルは、$(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}})$ と $(-\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}})$ です。