画像に記載された線形代数の問題は以下の通りです。 * 問題1：ベクトルの外積の計算 * 問題2：行列の積の計算（AB, Ac, d^{T}c) * 問題3：行列の性質の証明（ABC=0 ならば A=0） * 問題4：連立一次方程式の解法（係数行列の階数と解の計算）

1. 問題の内容

画像に記載された線形代数の問題は以下の通りです。

* 問題1：ベクトルの外積の計算

* 問題2：行列の積の計算（AB, Ac, d^{T}c)

* 問題3：行列の性質の証明（ABC=0 ならば A=0）

* 問題4：連立一次方程式の解法（係数行列の階数と解の計算）

2. 解き方の手順

**問題1：外積の計算**

ベクトルの外積は以下の公式に従って計算します。

$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ のとき、

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$

与えられたベクトルは $\vec{a} = (1, 1, -1)$ および $\vec{b} = (2, -1, -3)$ です。

したがって、

$(i + j - k) \times (2i - j - 3k) = (1 \cdot (-3) - (-1) \cdot (-1), (-1) \cdot 2 - 1 \cdot (-3), 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2)$

$= (-3 - 1, -2 + 3, -1 - 2) = (-4, 1, -3)$

**問題2：行列の計算**

(1) ABの計算

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 & 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 \\ 3 \cdot 3 + (-2) \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 3 \cdot 2 + (-2) \cdot 3 + 2 \cdot 2 & 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + 2 \cdot 3 \\ 3 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 & 3 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 1 \cdot 2 & 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 3 + 4 + 3 & 2 + 6 + 6 & 1 + 4 + 9 \\ 9 - 4 + 2 & 6 - 6 + 4 & 3 - 4 + 6 \\ 9 + 6 + 1 & 6 + 9 + 2 & 3 + 6 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 14 & 14 \\ 7 & 4 & 5 \\ 16 & 17 & 12 \end{pmatrix}$

(2) Acの計算

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix}, c = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

$Ac = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 \\ 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + 2 \cdot 3 \\ 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 4 + 9 \\ 3 - 4 + 6 \\ 3 + 6 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ 5 \\ 12 \end{pmatrix}$

(3) d^{T}c の計算

$d = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}, c = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

$d^T = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

$d^T c = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = (-2) \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = -2 + 6 + 6 = 10$

**問題3：行列の性質の証明**

仮定：ABC = 0, BとCは正則

証明：

ABC = 0 の両辺に右から C^{-1} をかけると、

$ABC C^{-1} = 0 C^{-1}$

$AB(CC^{-1}) = 0$

$ABI = 0$

$AB = 0$

AB = 0 の両辺に左から B^{-1} をかけると、

$B^{-1}AB = B^{-1}0$

$(B^{-1}B)A = 0$

$IA = 0$

$A = 0$

したがって、ABC = 0 ならば A = 0 が成り立つ。

**問題4：連立一次方程式の解法**

(1) 係数行列の階数の計算

与えられた連立一次方程式は次の通りです。

$2x_1 + x_2 + 3x_3 = 0$

$x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0$

$x_2 - 4x_3 = 0$

係数行列は次の通りです。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & -4 \end{pmatrix}$

行列式を計算します。

$det(A) = 2(2 \cdot (-4) - (-3) \cdot 1) - 1(1 \cdot (-4) - (-3) \cdot 0) + 3(1 \cdot 1 - 2 \cdot 0)$

$= 2(-8 + 3) - (-4) + 3(1) = 2(-5) + 4 + 3 = -10 + 4 + 3 = -3$

$det(A) \neq 0$ であるため、係数行列の階数は3です。

(2) 解の計算

$x_2 - 4x_3 = 0$ より $x_2 = 4x_3$

$x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0$ に代入すると、

$x_1 + 2(4x_3) - 3x_3 = 0$

$x_1 + 8x_3 - 3x_3 = 0$

$x_1 + 5x_3 = 0$

$x_1 = -5x_3$

したがって、解は $x_1 = -5x_3$, $x_2 = 4x_3$ となります。

$x_3 = t$ とおくと、解は $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ と表せます。

3. 最終的な答え

* 問題1: $(-4, 1, -3)$

* 問題2: (1) $\begin{pmatrix} 10 & 14 & 14 \\ 7 & 4 & 5 \\ 16 & 17 & 12 \end{pmatrix}$, (2) $\begin{pmatrix} 14 \\ 5 \\ 12 \end{pmatrix}$, (3) $10$

* 問題3: 証明済み (A = 0)

* 問題4: (1) 3, (2) $t \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ (tは任意の実数)