与えられた4つの連立1次方程式を解く問題です。各方程式は $Ax=b$ の形式で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた4つの連立1次方程式を解く問題です。各方程式は $Ax=b$ の形式で与えられています。

2. 解き方の手順

各連立1次方程式を解くために、掃き出し法（ガウスの消去法）または逆行列を用いることができます。ここでは、掃き出し法を使って解いていきます。

(1)

与えられた連立1次方程式は

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \\ -1 & -3 & 8 \end{bmatrix} x = \begin{bmatrix} 2 \\ -5 \\ 9 \end{bmatrix}$

拡大係数行列は

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & -5 \\ -1 & -3 & 8 & 9 \end{bmatrix}$

3行目に1行目を加える:

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & -5 \\ 0 & -2 & 7 & 11 \end{bmatrix}$

3行目に2行目の2倍を加える:

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

3行目からx3 = 1

2行目からx2 - 3x3 = -5 => x2 - 3 = -5 => x2 = -2

1行目からx1 + x2 - x3 = 2 => x1 - 2 - 1 = 2 => x1 = 5

(2)

与えられた連立1次方程式は

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 8 \\ -1 & 3 & -11 \\ 2 & -2 & 11 \end{bmatrix} x = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$

拡大係数行列は

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 8 & 1 \\ -1 & 3 & -11 & -2 \\ 2 & -2 & 11 & 1 \end{bmatrix}$

2行目に1行目を加える:

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 8 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 1 \end{bmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引く:

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 8 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & -1 \\ 0 & 2 & -5 & -1 \end{bmatrix}$

3行目から2行目の2倍を引く:

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 8 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

3行目からx3 = 1

2行目からx2 - 3x3 = -1 => x2 - 3 = -1 => x2 = 2

1行目からx1 - 2x2 + 8x3 = 1 => x1 - 4 + 8 = 1 => x1 = -3

(3)

与えられた連立1次方程式は

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 8 \\ 2 & 4 & 5 \end{bmatrix} x = \begin{bmatrix} 13 \\ 20 \\ 16 \end{bmatrix}$

拡大係数行列は

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 13 \\ 1 & 4 & 8 & 20 \\ 2 & 4 & 5 & 16 \end{bmatrix}$

2行目から1行目を引く:

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 13 \\ 0 & 1 & 3 & 7 \\ 2 & 4 & 5 & 16 \end{bmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引く:

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 13 \\ 0 & 1 & 3 & 7 \\ 0 & -2 & -5 & -10 \end{bmatrix}$

3行目に2行目の2倍を加える:

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 13 \\ 0 & 1 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}$

3行目からx3 = 4

2行目からx2 + 3x3 = 7 => x2 + 12 = 7 => x2 = -5

1行目からx1 + 3x2 + 5x3 = 13 => x1 - 15 + 20 = 13 => x1 = 8

(4)

与えられた連立1次方程式は

$\begin{bmatrix} 1 & 6 & 41 \\ 0 & 1 & 8 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} x = \begin{bmatrix} 18 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$

拡大係数行列は

$\begin{bmatrix} 1 & 6 & 41 & 18 \\ 0 & 1 & 8 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

3行目から1行目を引く:

$\begin{bmatrix} 1 & 6 & 41 & 18 \\ 0 & 1 & 8 & 4 \\ 0 & -5 & -39 & -17 \end{bmatrix}$

3行目に2行目の5倍を加える:

$\begin{bmatrix} 1 & 6 & 41 & 18 \\ 0 & 1 & 8 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

3行目からx3 = 3

2行目からx2 + 8x3 = 4 => x2 + 24 = 4 => x2 = -20

1行目からx1 + 6x2 + 41x3 = 18 => x1 - 120 + 123 = 18 => x1 = 15

3. 最終的な答え

(1) $x = \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$

(2) $x = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

(3) $x = \begin{bmatrix} 8 \\ -5 \\ 4 \end{bmatrix}$

(4) $x = \begin{bmatrix} 15 \\ -20 \\ 3 \end{bmatrix}$