2次方程式 $x^2 - mx - m + 8 = 0$ が異なる2つの負の実数解を持つように、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

## 数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - mx - m + 8 = 0$ が異なる2つの負の実数解を持つように、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac > 0$ であることです。

また、2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

となります。

今回の問題では、$a = 1, b = -m, c = -m + 8$ なので、

(1) 異なる2つの実数解を持つ条件:

$D = (-m)^2 - 4(1)(-m + 8) > 0$

$m^2 + 4m - 32 > 0$

$(m + 8)(m - 4) > 0$

$m < -8$ または $m > 4$ ...(i)

(2) 2つの解が負である条件:

$\alpha + \beta < 0$ かつ $\alpha \beta > 0$

$\alpha + \beta = \frac{-(-m)}{1} = m$

$\alpha \beta = \frac{-m + 8}{1} = -m + 8$

したがって、$m < 0$ かつ $-m + 8 > 0$

$m < 0$ かつ $m < 8$

$m < 0$ ...(ii)

(i)と(ii)を満たす $m$ の範囲を求めます。

$m < -8$ または $m > 4$ と $m < 0$ の共通範囲は、$m < -8$ となります。

3. 最終的な答え

$m < -8$