数列$\{a_n\}$が漸化式$a_1 = 1$, $a_{k+1} = 3a_k + (k+1)3^k$ ($k=1, 2, 3, \dots$)で定義されるとき、$a_n = \frac{n(n+1)}{2}3^{n-1}$が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が漸化式$a_1 = 1$, $a_{k+1} = 3a_k + (k+1)3^k$ ($k=1, 2, 3, \dots$)で定義されるとき、$a_n = \frac{n(n+1)}{2}3^{n-1}$が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

(1) $n=1$のときを証明する。

(2) $n=m$のときに$a_m = \frac{m(m+1)}{2}3^{m-1}$が成り立つと仮定して、$n=m+1$のときにも$a_{m+1} = \frac{(m+1)(m+2)}{2}3^m$が成り立つことを示す。

(1) $n=1$のとき、

$a_1 = \frac{1(1+1)}{2}3^{1-1} = \frac{1 \cdot 2}{2} \cdot 3^0 = 1$

よって、$n=1$のとき、$a_n = \frac{n(n+1)}{2}3^{n-1}$は成り立つ。

(2) $n=m$のとき、$a_m = \frac{m(m+1)}{2}3^{m-1}$が成り立つと仮定する。

$a_{m+1} = 3a_m + (m+1)3^m$に代入すると、

$a_{m+1} = 3\cdot \frac{m(m+1)}{2}3^{m-1} + (m+1)3^m = \frac{3m(m+1)}{2}3^{m-1} + \frac{2(m+1)}{2}3^m$

$= \frac{m(m+1)}{2}3^m + \frac{2(m+1)}{2}3^m = \frac{(m^2+m+2m+2)}{2}3^m = \frac{(m^2+3m+2)}{2}3^m$

$= \frac{(m+1)(m+2)}{2}3^m$

よって、$n=m+1$のときにも$a_{m+1} = \frac{(m+1)(m+2)}{2}3^m$が成り立つ。

したがって、数学的帰納法より、$a_n = \frac{n(n+1)}{2}3^{n-1}$が成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{n(n+1)}{2}3^{n-1}$