$x, y$ は実数、$n$ は整数とする。対偶を考えて、次の命題を証明する問題です。 (1) $x^3 \neq 1 \implies x \neq 1$ (2) $x+y > 3 \implies x > 2 \text{ または } y > 1$ (3) $n^2 \text{ が } 3 \text{ の倍数でない} \implies n \text{ は } 3 \text{ の倍数でない}$ (4) $n^3 + 1 \text{ が奇数} \implies n \text{ は偶数}$

1. 問題の内容

$x, y$ は実数、$n$ は整数とする。対偶を考えて、次の命題を証明する問題です。

(1) $x^3 \neq 1 \implies x \neq 1$

(2) $x+y > 3 \implies x > 2 \text{ または } y > 1$

(3) $n^2 \text{ が } 3 \text{ の倍数でない} \implies n \text{ は } 3 \text{ の倍数でない}$

(4) $n^3 + 1 \text{ が奇数} \implies n \text{ は偶数}$

2. 解き方の手順

(1) の対偶は $x = 1 \implies x^3 = 1$ です。

$x = 1$ を代入すると、$x^3 = 1^3 = 1$ となり、成り立つので、$x^3 \neq 1 \implies x \neq 1$ は真です。

(2) の対偶は $\neg(x > 2 \text{ または } y > 1) \implies x+y \leq 3$ です。

$\neg(x > 2 \text{ または } y > 1) = (x \leq 2) \land (y \leq 1)$なので、$x \leq 2$ かつ $y \leq 1$ ならば $x+y \leq 3$ であることを示せばよい。

$x \leq 2$ かつ $y \leq 1$ ならば、$x+y \leq 2+1 = 3$。 よって、$x+y \leq 3$。

したがって、$x+y > 3 \implies x > 2 \text{ または } y > 1$ は真です。

(3) の対偶は $n \text{ が } 3 \text{ の倍数 } \implies n^2 \text{ は } 3 \text{ の倍数}$ です。

$n$ が $3$ の倍数なので、$n = 3k$ ($k$ は整数) と表せる。

$n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$。

$3k^2$ は整数なので、$n^2$ は $3$ の倍数である。

したがって、$n^2 \text{ が } 3 \text{ の倍数でない} \implies n \text{ は } 3 \text{ の倍数でない}$ は真です。

(4) の対偶は $n \text{ が奇数 } \implies n^3 + 1 \text{ が偶数}$ です。

$n$ が奇数なので、$n = 2k+1$ ($k$ は整数) と表せる。

\begin{align*}

n^3+1 &= (2k+1)^3 + 1 \\

&= 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 + 1 \\

&= 8k^3 + 12k^2 + 6k + 2 \\

&= 2(4k^3 + 6k^2 + 3k + 1)

\end{align*}

$4k^3 + 6k^2 + 3k + 1$ は整数なので、$n^3 + 1$ は偶数である。

したがって、$n^3 + 1 \text{ が奇数} \implies n \text{ は偶数}$ は真です。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 真

(3) 真

(4) 真