与えられた2次関数を平方完成し、頂点の座標を求める問題です。$a$は正の定数です。 (1) $y = ax^2 - 2ax + 2 - 3a$ (2) $y = x^2 - 2x + 2a + 4$

1. 問題の内容

与えられた2次関数を平方完成し、頂点の座標を求める問題です。$a$は正の定数です。

(1) $y = ax^2 - 2ax + 2 - 3a$

(2) $y = x^2 - 2x + 2a + 4$

2. 解き方の手順

(1) $y = ax^2 - 2ax + 2 - 3a$

まず、$ax^2 - 2ax$の部分を$a$でくくります。

$y = a(x^2 - 2x) + 2 - 3a$

次に、$x^2 - 2x$を平方完成します。$x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$です。

$y = a((x - 1)^2 - 1) + 2 - 3a$

括弧を展開します。

$y = a(x - 1)^2 - a + 2 - 3a$

整理して平方完成の形にします。

$y = a(x - 1)^2 - 4a + 2$

頂点の座標は$(1, -4a + 2)$です。

(2) $y = x^2 - 2x + 2a + 4$

$x^2 - 2x$の部分を平方完成します。$x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$です。

$y = (x - 1)^2 - 1 + 2a + 4$

整理して平方完成の形にします。

$y = (x - 1)^2 + 2a + 3$

頂点の座標は$(1, 2a + 3)$です。

3. 最終的な答え

(1) 平方完成: $y = a(x - 1)^2 - 4a + 2$

頂点の座標: $(1, -4a + 2)$

(2) 平方完成: $y = (x - 1)^2 + 2a + 3$

頂点の座標: $(1, 2a + 3)$