$y = ax^2 + bx + c$ のグラフが与えられているとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $a, b, c$ の符号を求める。 (2) $a$ と $c$ の値を固定し、$b$ の値のみを変化させたとき、以下のうち変わらないものを全て選択し、その理由を説明する。 ① 放物線と $x$ 軸との共有点の個数 ② 放物線の頂点の $x$ 座標の符号 ③ 放物線の頂点の $y$ 座標の符号

1. 問題の内容

$y = ax^2 + bx + c$ のグラフが与えられているとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $a, b, c$ の符号を求める。

(2) $a$ と $c$ の値を固定し、$b$ の値のみを変化させたとき、以下のうち変わらないものを全て選択し、その理由を説明する。

① 放物線と $x$ 軸との共有点の個数

② 放物線の頂点の $x$ 座標の符号

③ 放物線の頂点の $y$ 座標の符号

2. 解き方の手順

(1) $a, b, c$ の符号について

- $a$ の符号：グラフの形状から判断します。上に凸なので $a < 0$

- $c$ の符号：グラフが $y$ 軸と交わる点の $y$ 座標から判断します。グラフは $y$ 軸の正の部分と交わっているので $c > 0$

- $b$ の符号：頂点の $x$ 座標 $x = -\frac{b}{2a}$ から判断します。グラフの頂点の $x$ 座標は正なので $-\frac{b}{2a} > 0$。$a < 0$ より、$b < 0$

(2) $b$ の値のみを変化させたとき

- ① 放物線と $x$ 軸との共有点の個数：判別式 $D = b^2 - 4ac$ を考えます。$b$ が変化すると $D$ も変化するため、$x$ 軸との共有点の個数は変わります。

- ② 放物線の頂点の $x$ 座標の符号：頂点の $x$ 座標は $-\frac{b}{2a}$ で表されます。$a$ は固定なので、$b$ が変化すると頂点の $x$ 座標も変化し、符号も変わる可能性があります。

- ③ 放物線の頂点の $y$ 座標の符号：頂点の $y$ 座標は $y = c - \frac{b^2}{4a}$ で表されます。$a$と$c$は固定ですが、$b$が変化すると$y$座標も変化するので、符号も変わる可能性があります。

3. 最終的な答え

(1)

$a < 0$

$b < 0$

$c > 0$

(2)

全て変わるため、該当するものはありません。