与えられた同次連立一次方程式 $\begin{cases} -x + y + az = 0 \\ 5x - 2y + 15z = 0 \\ 4x - y + (a+15)z = 0 \\ (a+1)x + y - 6z = 0 \end{cases}$ が非自明な解をもつような $a$ の値を求め、その場合の非自明な解を求める。

1. 問題の内容

与えられた同次連立一次方程式

$\begin{cases}

-x + y + az = 0 \\

5x - 2y + 15z = 0 \\

4x - y + (a+15)z = 0 \\

(a+1)x + y - 6z = 0

\end{cases}$

が非自明な解をもつような $a$ の値を求め、その場合の非自明な解を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立一次方程式の係数行列を $A$ とする。

$A = \begin{pmatrix}

-1 & 1 & a \\

5 & -2 & 15 \\

4 & -1 & a+15 \\

a+1 & 1 & -6

\end{pmatrix}$

この連立一次方程式が非自明な解を持つためには、係数行列 $A$ のランクが未知数の数（ここでは3）よりも小さくなければならない。

まず、第1式と第2式から $x$ を消去することを考える。第1式を5倍して第2式に足すと、

$5(-x + y + az) + (5x - 2y + 15z) = 0$

$3y + (5a+15)z = 0$

$y = -\frac{5a+15}{3}z$

$y = -\frac{5(a+3)}{3}z$

第1式から $y = x - az$ なので、

$x - az = -\frac{5(a+3)}{3}z$

$x = az - \frac{5(a+3)}{3}z$

$x = \frac{3a - 5a - 15}{3}z = \frac{-2a - 15}{3}z$

$x = -\frac{2a+15}{3}z$

これらの結果を第3式と第4式に代入する。

$4x - y + (a+15)z = 0$

$4(-\frac{2a+15}{3}z) - (-\frac{5(a+3)}{3}z) + (a+15)z = 0$

$-\frac{8a+60}{3} + \frac{5a+15}{3} + \frac{3(a+15)}{3} = 0$

$-8a - 60 + 5a + 15 + 3a + 45 = 0$

$0a + 0 = 0$

$(a+1)x + y - 6z = 0$

$(a+1)(-\frac{2a+15}{3}z) + (-\frac{5(a+3)}{3}z) - 6z = 0$

$-\frac{(a+1)(2a+15)}{3} - \frac{5a+15}{3} - \frac{18}{3} = 0$

$-(2a^2 + 15a + 2a + 15) - (5a + 15) - 18 = 0$

$-2a^2 - 17a - 15 - 5a - 15 - 18 = 0$

$-2a^2 - 22a - 48 = 0$

$2a^2 + 22a + 48 = 0$

$a^2 + 11a + 24 = 0$

$(a+3)(a+8) = 0$

$a = -3, -8$

(i) $a=-3$ のとき、

$x = -\frac{2(-3)+15}{3}z = -\frac{9}{3}z = -3z$

$y = -\frac{5(-3+3)}{3}z = 0$

$(x, y, z) = (-3z, 0, z)$

$(x, y, z) = (-3, 0, 1)$

(ii) $a=-8$ のとき、

$x = -\frac{2(-8)+15}{3}z = -\frac{-1}{3}z = \frac{1}{3}z$

$y = -\frac{5(-8+3)}{3}z = -\frac{5(-5)}{3}z = \frac{25}{3}z$

$(x, y, z) = (\frac{1}{3}z, \frac{25}{3}z, z)$

$(x, y, z) = (1, 25, 3)$

3. 最終的な答え

$a = -3$ のとき、非自明な解は $(x, y, z) = (-3, 0, 1)$

$a = -8$ のとき、非自明な解は $(x, y, z) = (1, 25, 3)$