関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが表示されるコンピュータソフトにおいて、あるa, b, cの値を入力したところ、図のようなグラフが表示された。 (1) a, b, c の符号を答えよ。 (2) この a, c の値を変えずに、b の値だけを変化させたとき、変わらないものを次の選択肢の中からすべて選べ。また、変わらない理由を説明せよ。 　① 放物線と x 軸との共有点の個数 　② 放物線の頂点の x 座標の符号 　③ 放物線の頂点の y 座標の符号

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが表示されるコンピュータソフトにおいて、あるa, b, cの値を入力したところ、図のようなグラフが表示された。

(1) a, b, c の符号を答えよ。

(2) この a, c の値を変えずに、b の値だけを変化させたとき、変わらないものを次の選択肢の中からすべて選べ。また、変わらない理由を説明せよ。

　① 放物線と x 軸との共有点の個数

　② 放物線の頂点の x 座標の符号

　③ 放物線の頂点の y 座標の符号

2. 解き方の手順

(1) a, b, c の符号について

まず、グラフの形状から a の符号を判断する。上に凸のグラフなので、$a < 0$ である。

次に、グラフと y 軸の交点の y 座標は c である。グラフより、$c > 0$ である。

最後に、軸の位置から b の符号を判断する。軸の方程式は $x = -\frac{b}{2a}$ である。グラフの軸は y 軸の左側にあるので、$-\frac{b}{2a} < 0$ となる。$a < 0$ なので、$b < 0$ となる。

(2) b の値だけを変化させたとき、変わらないものについて

① 放物線と x 軸との共有点の個数：$y = ax^2 + bx + c$ の判別式 $D = b^2 - 4ac$ の符号によって、共有点の個数は変わる。$b$ を変化させると $D$ の符号も変わるので、共有点の個数は変わる。

② 放物線の頂点の x 座標の符号：頂点の x 座標は $x = -\frac{b}{2a}$ であり、$b$ を変化させると頂点の x 座標も変わるので、その符号も変わる可能性がある。

③ 放物線の頂点の y 座標の符号：頂点の y 座標は $y = a(-\frac{b}{2a})^2 + b(-\frac{b}{2a}) + c = -\frac{b^2}{4a} + c$ であり、$b$ を変化させると頂点の y 座標も変わるので、その符号も変わる可能性がある。

ここで、$x$軸との共有点の個数を考える。$b$の値を変えると、判別式 $D = b^2 - 4ac$ の値も変わる。しかし、$a < 0$ かつ $c > 0$ であるから、$-4ac > 0$ は常に成り立つ。したがって、$b$ をどれだけ小さくしても、判別式は必ず正の値を取る。そのため、放物線は常に x 軸と 2 点で交わる。

3. 最終的な答え

(1)

a: 負

b: 負

c: 正

(2)

変わらないもの：① 放物線と x 軸との共有点の個数

理由：$a<0$, $c>0$ より、判別式 $D = b^2 - 4ac$ は常に正となるため、x 軸との共有点の個数は常に 2 個である。