与えられた式を簡単に計算する問題です。 (1) $\sqrt{32} - 2\sqrt{18} + \sqrt{50}$ (2) $(3\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - 2\sqrt{3})$ (3) $(1 + \sqrt{5} + \sqrt{6})(1 + \sqrt{5} - \sqrt{6})$

1. 問題の内容

与えられた式を簡単に計算する問題です。

(1) $\sqrt{32} - 2\sqrt{18} + \sqrt{50}$

(2) $(3\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - 2\sqrt{3})$

(3) $(1 + \sqrt{5} + \sqrt{6})(1 + \sqrt{5} - \sqrt{6})$

2. 解き方の手順

(1) 各項の根号の中身を素因数分解し、$\sqrt{2}$の形に変形します。

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$

$2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \times 2} = 2 \times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$

したがって、

$\sqrt{32} - 2\sqrt{18} + \sqrt{50} = 4\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (4 - 6 + 5)\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

(2) 分配法則を用いて展開します。

$(3\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - 2\sqrt{3}) = 3\sqrt{5} \times \sqrt{5} - 3\sqrt{5} \times 2\sqrt{3} + \sqrt{3} \times \sqrt{5} - \sqrt{3} \times 2\sqrt{3}$

$= 3 \times 5 - 6\sqrt{15} + \sqrt{15} - 2 \times 3$

$= 15 - 6\sqrt{15} + \sqrt{15} - 6$

$= 9 - 5\sqrt{15}$

(3) $A = 1 + \sqrt{5}$とおくと、式は$(A + \sqrt{6})(A - \sqrt{6})$となり、これは和と差の積の公式 $a^2 - b^2$の形です。

したがって、

$(1 + \sqrt{5} + \sqrt{6})(1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}) = (1 + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{6})^2$

$= (1 + 2\sqrt{5} + 5) - 6$

$= 6 + 2\sqrt{5} - 6$

$= 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $3\sqrt{2}$

(2) $9 - 5\sqrt{15}$

(3) $2\sqrt{5}$