(1) $\sqrt{5} < x < 3\sqrt{6}$ を満たす自然数 $x$ の個数を求めよ。 (2) 4つの数 $\frac{2}{3}, \frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{\sqrt{2}}{3}, \sqrt{\frac{2}{3}}$ を小さい順に並べよ。 (3) $\sqrt{3} = 1.732$ として、$\sqrt{0.75}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\sqrt{5} < x < 3\sqrt{6}$ を満たす自然数 $x$ の個数を求めよ。

(2) 4つの数 $\frac{2}{3}, \frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{\sqrt{2}}{3}, \sqrt{\frac{2}{3}}$ を小さい順に並べよ。

(3) $\sqrt{3} = 1.732$ として、$\sqrt{0.75}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\sqrt{5}$ と $3\sqrt{6}$ の近似値を求める。

$\sqrt{4} = 2$ であり、$\sqrt{9} = 3$ なので、$2 < \sqrt{5} < 3$ である。$\sqrt{5}$ は2と3の間にあり、$5$は4と9の間の中間より少し小さい値なので、$\sqrt{5} \approx 2.2$ と予想できる。

$3\sqrt{6} = \sqrt{9 \times 6} = \sqrt{54}$ である。$\sqrt{49} = 7$ であり、$\sqrt{64} = 8$ なので、$7 < \sqrt{54} < 8$ である。$\sqrt{54}$ は7と8の間にあり、$54$は49と64の間の中間より少し小さい値なので、$\sqrt{54} \approx 7.3$ と予想できる。

したがって、$2.2 < x < 7.3$ を満たす自然数 $x$ は、$3, 4, 5, 6, 7$ である。

(2) 各数を2乗して大小を比較する。

$(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$

$(\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3} = \frac{12}{9}$

$(\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = \frac{2}{9}$

$(\sqrt{\frac{2}{3}})^2 = \frac{2}{3} = \frac{6}{9}$

$\frac{2}{9} < \frac{4}{9} < \frac{6}{9} < \frac{12}{9}$ より、

$\frac{\sqrt{2}}{3} < \frac{2}{3} < \sqrt{\frac{2}{3}} < \frac{2}{\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1.732}{2} = 0.866$

3. 最終的な答え

(1) 5個

(2) $\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{2}{3}, \sqrt{\frac{2}{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}$

(3) 0.866