問題は以下の通りです。 3. a, b は整数で、$a \times b$ も $a - b$ も負の数である。このとき、次の問いに答えなさい。 (1) b は正の数、0、負の数のいずれか。 (2) $a \div b = -\frac{2}{3}$ で、a, b の絶対値がともに1けたのとき、a の値として考えられるものをすべて求めよ。 4. 次の問いに答えなさい。 (1) 324 は、どんな自然数を2乗したものか。 (2) 42 にできるだけ小さい自然数をかけて、15の倍数にしたい。どんな数をかければよいか。 (3) 504 にできるだけ小さい自然数をかけて、ある整数の2乗にしたい。どんな数をかければよいか。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

3. a, b は整数で、$a \times b$ も $a - b$ も負の数である。このとき、次の問いに答えなさい。

(1) b は正の数、0、負の数のいずれか。

(2) $a \div b = -\frac{2}{3}$ で、a, b の絶対値がともに1けたのとき、a の値として考えられるものをすべて求めよ。

4. 次の問いに答えなさい。

(1) 324 は、どんな自然数を2乗したものか。

(2) 42 にできるだけ小さい自然数をかけて、15の倍数にしたい。どんな数をかければよいか。

(3) 504 にできるだけ小さい自然数をかけて、ある整数の2乗にしたい。どんな数をかければよいか。

2. 解き方の手順

3. (1)

$a \times b < 0$ より、aとbは異符号。

$a - b < 0$ より、$a < b$ 。

したがって、aが負の数、bが正の数である。

よって、bは正の数である。

(2)

$a \div b = -\frac{2}{3}$ より、$3a = -2b$ 。

$|a| < 10$ 、$|b| < 10$ を満たす整数のa, bを求める。

$a = -2k$, $b = 3k$ (kは整数) とおける。

$|-2k| < 10$ 、$|3k| < 10$

$|k| < 5$、$|k| < \frac{10}{3} = 3.33...$

よって、$k = \pm 1, \pm 2, \pm 3$

$k = 1$ のとき、$a = -2, b = 3$

$k = 2$ のとき、$a = -4, b = 6$

$k = 3$ のとき、$a = -6, b = 9$

$k = -1$ のとき、$a = 2, b = -3$ (これは不適。aとbが異符号である必要がある。)

$k = -2$ のとき、$a = 4, b = -6$ (これも不適。)

$k = -3$ のとき、$a = 6, b = -9$ (これも不適。)

4. (1)

$324 = 2^2 \times 3^4 = (2 \times 3^2)^2 = (2 \times 9)^2 = 18^2$

よって、324 は 18 を2乗したものである。

(2)

$42 = 2 \times 3 \times 7$

$15 = 3 \times 5$

42 にかける数をxとすると、$42x = 2 \times 3 \times 7 \times x$ が15の倍数になればよい。

つまり、$2 \times 3 \times 7 \times x$ が $3 \times 5$ の倍数になればよい。

よって、xは5の倍数でなければならない。

最小のxは5。

(3)

$504 = 2^3 \times 3^2 \times 7$

504 にかける数をxとすると、$504x$ がある整数の2乗になればよい。

$504x = 2^3 \times 3^2 \times 7 \times x$

ある整数の2乗にするためには、各素因数の指数が偶数でなければならない。

x = $2 \times 7 = 14$ とすれば、$504x = 2^4 \times 3^2 \times 7^2 = (2^2 \times 3 \times 7)^2 = (4 \times 3 \times 7)^2 = 84^2$

3. 最終的な答え

3. (1) 正の数

(2) -2, -4, -6

4. (1) 18

(2) 5

(3) 14