一辺の長さが4cmの正三角形を底面とし、高さが9cmの正三角錐OABCがある。 (1) Aから辺BCに垂線AHを下ろすとき、線分AHの長さを求めよ。 (2) 三角形ABCの面積を求めよ。 (3) 正三角錐OABCの体積を求めよ。

はい、承知しました。問題を解きます。

1. 問題の内容

一辺の長さが4cmの正三角形を底面とし、高さが9cmの正三角錐OABCがある。

(1) Aから辺BCに垂線AHを下ろすとき、線分AHの長さを求めよ。

(2) 三角形ABCの面積を求めよ。

(3) 正三角錐OABCの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分AHの長さについて：

三角形ABCは正三角形なので、AHはAからBCに下ろした垂線であり、BCの中点Hに到達する。この時、三角形ABHは直角三角形である。したがって、三平方の定理を用いてAHの長さを求めることができる。

$AH^2 + BH^2 = AB^2$

$BH = BC / 2 = 4 / 2 = 2$ cm

$AB = 4$ cm

$AH^2 + 2^2 = 4^2$

$AH^2 = 16 - 4 = 12$

$AH = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ cm

(2) 三角形ABCの面積について：

三角形ABCは正三角形なので、面積は

$面積 = (1/2) \times BC \times AH = (1/2) \times 4 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ 平方cm

(3) 正三角錐OABCの体積について：

三角錐の体積は、$V = (1/3) \times 底面積 \times 高さ$ で求められる。

底面積は三角形ABCの面積であり、$4\sqrt{3}$ 平方cmである。高さは9cmである。

$V = (1/3) \times 4\sqrt{3} \times 9 = 12\sqrt{3}$ 立方cm

3. 最終的な答え

(1) 線分AHの長さは $2\sqrt{3}$ cm

(2) 三角形ABCの面積は $4\sqrt{3}$ 平方cm

(3) 正三角錐OABCの体積は $12\sqrt{3}$ 立方cm