底面の半径が 3 cm、母線の長さが 9 cm の円錐について、以下の値を求めます。 (1) 円錐の高さ (2) 円錐の体積 (3) 側面のおうぎ形の中心角の大きさ (4) 円錐の表面積

1. 問題の内容

底面の半径が 3 cm、母線の長さが 9 cm の円錐について、以下の値を求めます。

(1) 円錐の高さ

(2) 円錐の体積

(3) 側面のおうぎ形の中心角の大きさ

(4) 円錐の表面積

2. 解き方の手順

(1) 円錐の高さ

円錐の高さ $h$、底面の半径 $r$、母線の長さ $l$ の間には、ピタゴラスの定理より、$h^2 + r^2 = l^2$ の関係が成り立ちます。

よって、$h = \sqrt{l^2 - r^2}$ です。

$r = 3$ cm, $l = 9$ cm を代入すると、

$h = \sqrt{9^2 - 3^2} = \sqrt{81 - 9} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ cm。

(2) 円錐の体積

円錐の体積 $V$ は、$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ で求められます。

$r = 3$ cm, $h = 6\sqrt{2}$ cm を代入すると、

$V = \frac{1}{3} \pi (3^2) (6\sqrt{2}) = \frac{1}{3} \pi (9) (6\sqrt{2}) = 18\sqrt{2}\pi$ cm$^3$。

(3) 側面のおうぎ形の中心角の大きさ

側面のおうぎ形の中心角 $\theta$ は、$\frac{\theta}{360} = \frac{r}{l}$ で求められます。

$r = 3$ cm, $l = 9$ cm を代入すると、

$\frac{\theta}{360} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

$\theta = \frac{1}{3} \times 360 = 120$ 度。

(4) 円錐の表面積

円錐の表面積 $S$ は、側面積（おうぎ形の面積）と底面積（円の面積）の和で求められます。

側面積は $\pi r l$、底面積は $\pi r^2$ なので、$S = \pi r l + \pi r^2$ です。

$r = 3$ cm, $l = 9$ cm を代入すると、

$S = \pi (3) (9) + \pi (3^2) = 27\pi + 9\pi = 36\pi$ cm$^2$。

3. 最終的な答え

(1) 円錐の高さ: $6\sqrt{2}$ cm

(2) 円錐の体積: $18\sqrt{2}\pi$ cm$^3$

(3) 側面のおうぎ形の中心角の大きさ: 120 度

(4) 円錐の表面積: $36\pi$ cm$^2$