異なる$n$個（$n \geq 2$）の自然数の中から2個を取り出してつくった積の総和を求めよ。ただし、自然数は$1, 2, 3, \dots, n$とする。

はい、承知いたしました。画像に写っている問題のうち、問題33を解きます。

1. 問題の内容

異なる$n$個（$n \geq 2$）の自然数の中から2個を取り出してつくった積の総和を求めよ。ただし、自然数は$1, 2, 3, \dots, n$とする。

2. 解き方の手順

まず、$n$個の自然数$1, 2, 3, \dots, n$の和を$S_1$、2乗の和を$S_2$とします。

$S_1 = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$S_2 = \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

求める積の総和を$A$とすると、

$2A = (\sum_{i=1}^n i)^2 - \sum_{i=1}^n i^2 = S_1^2 - S_2$

となります。

これは、$(1+2+3+...+n)^2$を展開すると、各項の2乗($1^2, 2^2, 3^2, ... , n^2$)と、異なる2つの数の積の2倍($2*1*2, 2*1*3, 2*1*4, ... , 2*2*3, 2*2*4, ...$)が現れるためです。

したがって、$A = \frac{S_1^2 - S_2}{2}$

$A = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right)$

$A = \frac{1}{2} \left( \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right)$

$A = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{n(n+1)}{4} - \frac{2n+1}{6} \right)$

$A = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{3n(n+1) - 2(2n+1)}{12} \right)$

$A = \frac{n(n+1)}{24} \left( 3n^2+3n - 4n-2 \right)$

$A = \frac{n(n+1)(3n^2-n-2)}{24}$

$A = \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}$

$A = \frac{(n-1)n(n+1)(3n+2)}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{(n-1)n(n+1)(3n+2)}{24}$