与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、固有方程式を立てて固有値を求めます。次に、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

(1) 固有方程式を立てる

行列 $A$ の固有値 $\lambda$ は、以下の固有方程式を満たします。

$\det(A - \lambda I) = 0$

ここで、$I$ は単位行列です。したがって、

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 2-\lambda \end{pmatrix}$

$\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)(2-\lambda) - (2)(3) = \lambda^2 - 3\lambda - 4 = (\lambda - 4)(\lambda + 1) = 0$

(2) 固有値を求める

上記の固有方程式を解くと、固有値は $\lambda_1 = 4$ と $\lambda_2 = -1$ となります。

(3) 固有ベクトルを求める

* $\lambda_1 = 4$ の場合：

$(A - 4I)v_1 = 0$ を満たすベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を求めます。

$\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-3x + 2y = 0$ より、$y = \frac{3}{2}x$ です。$x = 2$ とすると、$y = 3$ となるため、固有ベクトル $v_1$ は $v_1 = c_1\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ （$c_1$は0でない任意のスカラー）となります。

* $\lambda_2 = -1$ の場合：

$(A - (-1)I)v_2 = 0$ を満たすベクトル $v_2 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を求めます。

$\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x + 2y = 0$ より、$y = -x$ です。$x = 1$ とすると、$y = -1$ となるため、固有ベクトル $v_2$ は $v_2 = c_2\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ （$c_2$は0でない任意のスカラー）となります。

3. 最終的な答え

固有値：$\lambda_1 = 4$, $\lambda_2 = -1$

固有ベクトル：

$\lambda_1 = 4$ に対応する固有ベクトル $v_1 = c_1\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = -1$ に対応する固有ベクトル $v_2 = c_2\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ ($c_1, c_2$は0でない任意のスカラー)