与えられた行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & 4 & 8 \\ 2^2 & 5^2 & 4^2 & 8^2 \\ 2^3 & 5^3 & 4^3 & 8^3 \end{vmatrix}$ これはヴァンデルモンド行列の行列式の形をしています。

1. 問題の内容

与えられた行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

2 & 5 & 4 & 8 \\

2^2 & 5^2 & 4^2 & 8^2 \\

2^3 & 5^3 & 4^3 & 8^3

\end{vmatrix}$

これはヴァンデルモンド行列の行列式の形をしています。

2. 解き方の手順

ヴァンデルモンド行列の行列式は、次のような公式で計算できます。

$\begin{vmatrix}

1 & 1 & \cdots & 1 \\

x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\

x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}

\end{vmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$

今回の行列では、$x_1 = 2$, $x_2 = 5$, $x_3 = 4$, $x_4 = 8$ です。

したがって、行列式は

$(x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_4 - x_1)(x_3 - x_2)(x_4 - x_2)(x_4 - x_3)$

$= (5-2)(4-2)(8-2)(4-5)(8-5)(8-4)$

$= (3)(2)(6)(-1)(3)(4)$

$= (6)(6)(-1)(12)$

$= 36(-12)$

$= -432$

3. 最終的な答え

-432