与えられた連立一次方程式を行列で表したものが、 $\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix}$ で与えられています。この連立一次方程式の解 $x_1, x_2, x_3$ を求めます。ただし、$a$ と $b$ は未知数です。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を行列で表したものが、

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix}$

で与えられています。この連立一次方程式の解 $x_1, x_2, x_3$ を求めます。ただし、$a$ と $b$ は未知数です。

2. 解き方の手順

与えられた連立一次方程式を解くために、拡大行列を作成し、行基本変形を用いて簡約化します。

拡大行列は、

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & a \\ 1 & 1 & 1 & b \end{bmatrix}$

まず、3行目と1行目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & b \\ 0 & -1 & 1 & a \\ 2 & 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & b \\ 0 & -1 & 1 & a \\ 0 & -1 & 1 & 1-2b \end{bmatrix}$

3行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & b \\ 0 & -1 & 1 & a \\ 0 & 0 & 0 & 1-2b-a \end{bmatrix}$

連立一次方程式が解を持つためには、$1 - 2b - a = 0$ である必要があります。したがって、$a + 2b = 1$ です。

条件 $a + 2b = 1$ の下で、連立一次方程式を解きます。

2行目を -1 倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & b \\ 0 & 1 & -1 & -a \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & b+a \\ 0 & 1 & -1 & -a \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

したがって、$x_1 + 2x_3 = b+a$ と $x_2 - x_3 = -a$ です。

$x_3 = t$ とおくと、$x_1 = b + a - 2t$ と $x_2 = -a + t$ となります。

よって、

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b+a \\ -a \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

となります。

3. 最終的な答え

$a + 2b = 1$ のとき、解は

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b+a \\ -a \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

となります。ここで、$t$ は任意の実数です。

あるいは $a+2b = 1$ のとき、

$x_1 = a+b-2t$

$x_2 = -a+t$

$x_3 = t$

（$t$は任意の実数）