与えられた式 $\frac{1}{(2n+1)(2n-1)}$ を部分分数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{(2n+1)(2n-1)}$ を部分分数分解せよ。

2. 解き方の手順

部分分数分解を行うために、以下の形を仮定します。

$\frac{1}{(2n+1)(2n-1)} = \frac{A}{2n+1} + \frac{B}{2n-1}$

両辺に $(2n+1)(2n-1)$ を掛けます。

$1 = A(2n-1) + B(2n+1)$

この式が全ての $n$ について成り立つためには、$n$ についての恒等式である必要があります。

$n$ に適当な値を代入して $A$ と $B$ を求めます。

$n = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$1 = A(0) + B(2(\frac{1}{2})+1) = 2B$

よって $B = \frac{1}{2}$

$n = -\frac{1}{2}$ を代入すると、

$1 = A(2(-\frac{1}{2})-1) + B(0) = -2A$

よって $A = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{(2n+1)(2n-1)} = \frac{-\frac{1}{2}}{2n+1} + \frac{\frac{1}{2}}{2n-1} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$