$\sqrt{x^2 + \sqrt{x^2 - 4x + 4}}$ を次の3つの場合について簡単にせよ。 (1) $x < 0$ (2) $0 \le x < 2$ (3) $2 \le x$

1. 問題の内容

$\sqrt{x^2 + \sqrt{x^2 - 4x + 4}}$ を次の3つの場合について簡単にせよ。

(1) $x < 0$

(2) $0 \le x < 2$

(3) $2 \le x$

2. 解き方の手順

まず、内側の根号を簡単にします。

$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$

したがって、$\sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x - 2)^2} = |x - 2|$ となります。

次に、各場合について絶対値 $|x - 2|$ を評価します。

(1) $x < 0$ の場合、 $x - 2 < 0$ なので、 $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$

したがって、$\sqrt{x^2 + \sqrt{x^2 - 4x + 4}} = \sqrt{x^2 + (2 - x)} = \sqrt{x^2 - x + 2}$

(2) $0 \le x < 2$ の場合、$x - 2 < 0$ なので、 $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$

したがって、$\sqrt{x^2 + \sqrt{x^2 - 4x + 4}} = \sqrt{x^2 + (2 - x)} = \sqrt{x^2 - x + 2}$

(3) $2 \le x$ の場合、$x - 2 \ge 0$ なので、 $|x - 2| = x - 2$

したがって、$\sqrt{x^2 + \sqrt{x^2 - 4x + 4}} = \sqrt{x^2 + (x - 2)} = \sqrt{x^2 + x - 2} = \sqrt{(x + 2)(x - 1)}$

3. 最終的な答え

(1) $x < 0$ のとき、$\sqrt{x^2 - x + 2}$

(2) $0 \le x < 2$ のとき、$\sqrt{x^2 - x + 2}$

(3) $2 \le x$ のとき、$\sqrt{x^2 + x - 2} = \sqrt{(x + 2)(x - 1)}$