多項式 $P(x) = x^3 - (k-1)x^2 + (3k-6)x + 4k - 6$ が与えられています。ここで、$k$ は実数の定数です。 (1) $P(x)$ を $x+1$ で割った商を求めます。 (2) 方程式 $P(x)=0$ が異なる3つの実数解を持つような $k$ の値の範囲を求め、さらに、その3つの実数解の積が1となるような $k$ の値を求めます。 (3) 方程式 $P(x)=0$ が異なる3つの実数解を持ち、すべての解が $-2 < x < 1$ を満たすとき、$k$ の取りうる値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 - (k-1)x^2 + (3k-6)x + 4k - 6$ が与えられています。ここで、$k$ は実数の定数です。

(1) $P(x)$ を $x+1$ で割った商を求めます。

(2) 方程式 $P(x)=0$ が異なる3つの実数解を持つような $k$ の値の範囲を求め、さらに、その3つの実数解の積が1となるような $k$ の値を求めます。

(3) 方程式 $P(x)=0$ が異なる3つの実数解を持ち、すべての解が $-2 < x < 1$ を満たすとき、$k$ の取りうる値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$ を $x+1$ で割った商を求めるために、組み立て除法または筆算を使用します。

組み立て除法を行うと次のようになります。

| | 1 | -(k-1) | 3k-6 | 4k-6 |

|---|-----|--------|-------|-------|

| -1| | -1 | k | -4k+6 |

| | 1 | -k | 4k-6 | 0 |

したがって、$P(x) = (x+1)(x^2 - kx + 4k-6)$ となります。商は $x^2 - kx + 4k-6$ です。

(2) $P(x) = (x+1)(x^2 - kx + 4k-6) = 0$ が異なる3つの実数解を持つ条件を考えます。

$x=-1$ は既に解の一つなので、$x^2 - kx + 4k-6 = 0$ が $x = -1$ 以外の異なる2つの実数解を持つ必要があります。

まず、$x = -1$ を代入すると、$(-1)^2 - k(-1) + 4k - 6 = 1 + k + 4k - 6 = 5k - 5 = 0$ となり、$k = 1$ が得られます。

$k=1$のとき、$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) = 0$ となり、$x=2, -1$ が解となります。これは異なる3つの実数解を持つという条件を満たしません。したがって、$k \neq 1$ である必要があります。

次に、$x^2 - kx + 4k-6 = 0$ が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D = k^2 - 4(4k-6) = k^2 - 16k + 24 > 0$ であることです。

$k^2 - 16k + 24 = 0$ の解は、$k = \frac{16 \pm \sqrt{16^2 - 4(24)}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 96}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{160}}{2} = \frac{16 \pm 4\sqrt{10}}{2} = 8 \pm 2\sqrt{10}$

したがって、$k < 8 - 2\sqrt{10}$ または $k > 8 + 2\sqrt{10}$ が成り立ちます。

次に、3つの実数解の積が1となる条件を考えます。$P(x) = 0$ の解は $-1$ と $x^2 - kx + 4k-6 = 0$ の解です。$x^2 - kx + 4k-6 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係から $\alpha \beta = 4k-6$ となります。

したがって、3つの解の積は $(-1)\alpha\beta = (-1)(4k-6) = 1$ なので、$-4k+6 = 1$ より $4k = 5$、$k = \frac{5}{4}$ が得られます。

$k = \frac{5}{4}$ は $k < 8 - 2\sqrt{10}$ または $k > 8 + 2\sqrt{10}$ を満たしますか？

$8 - 2\sqrt{10} \approx 8 - 2(3.16) = 8 - 6.32 = 1.68 > \frac{5}{4} = 1.25$

したがって、$k = \frac{5}{4}$ は条件を満たします。

(3) $P(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持ち、すべての解が $-2 < x < 1$ を満たす条件を考えます。

既に1つの解は $x = -1$ であり、$-2 < -1 < 1$ を満たしています。

$x^2 - kx + 4k-6 = 0$ の2つの解 $\alpha, \beta$ が $-2 < \alpha, \beta < 1$ を満たす必要があります。

$f(x) = x^2 - kx + 4k-6$ とおくと、

(i) $D = k^2 - 16k + 24 > 0$ (異なる2つの実数解を持つ)

(ii) $-2 < \frac{k}{2} < 1$ (軸の位置)

(iii) $f(-2) = (-2)^2 - k(-2) + 4k - 6 = 4 + 2k + 4k - 6 = 6k - 2 > 0$

(iv) $f(1) = 1^2 - k(1) + 4k - 6 = 1 - k + 4k - 6 = 3k - 5 > 0$

(v) $f(-1) = 1 + k + 4k - 6 = 5k - 5 \neq 0$, つまり、$k \neq 1$

(i) から $k < 8 - 2\sqrt{10}$ または $k > 8 + 2\sqrt{10}$

(ii) から $-4 < k < 2$

(iii) から $k > \frac{1}{3}$

(iv) から $k > \frac{5}{3}$

$k > \frac{5}{3}$ と $-4 < k < 2$ を合わせると、$\frac{5}{3} < k < 2$

$\frac{5}{3} \approx 1.67$、$8 - 2\sqrt{10} \approx 1.68$ なので、

$\frac{5}{3} < k < 8 - 2\sqrt{10}$ と $k < 2$ より、$\frac{5}{3} < k < 8 - 2\sqrt{10}$。

また、$k\neq 1$ より、$\frac{5}{3} < k < 8-2\sqrt{10}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - kx + 4k - 6$

(2) $k < 8 - 2\sqrt{10}$ または $k > 8 + 2\sqrt{10}$, $k = \frac{5}{4}$

(3) $\frac{5}{3} < k < 8 - 2\sqrt{10}$