与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & -3 \\ 5 & 0 & 1 \\ -4 & 1 & 8 \end{pmatrix}$ について、 (1) 行列 $B$ が対称行列であることの定義を述べ、 (2) 行列 $C$ が交代行列であることの定義を述べ、 (3) 行列 $A$ を対称行列 $B$ と交代行列 $C$ の和として表せ。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & -3 \\ 5 & 0 & 1 \\ -4 & 1 & 8 \end{pmatrix}$ について、

(1) 行列 $B$ が対称行列であることの定義を述べ、

(2) 行列 $C$ が交代行列であることの定義を述べ、

(3) 行列 $A$ を対称行列 $B$ と交代行列 $C$ の和として表せ。

2. 解き方の手順

(1) 対称行列の定義：

正方行列 $B$ が対称行列であるとは、$B^T = B$ が成り立つことである。

すなわち、行列 $B$ の転置行列が $B$ 自身と等しいとき、$B$ は対称行列である。

これは、$B$ の $(i, j)$ 成分を $b_{ij}$ と書くと、$b_{ij} = b_{ji}$ がすべての $i, j$ に対して成り立つことと同値である。

(2) 交代行列の定義：

正方行列 $C$ が交代行列であるとは、$C^T = -C$ が成り立つことである。

すなわち、行列 $C$ の転置行列が $-C$ と等しいとき、$C$ は交代行列である。

これは、$C$ の $(i, j)$ 成分を $c_{ij}$ と書くと、$c_{ij} = -c_{ji}$ がすべての $i, j$ に対して成り立つことと同値である。特に、対角成分はすべて 0 である必要がある。

(3) 行列 $A$ を対称行列 $B$ と交代行列 $C$ の和で表す：

行列 $A$ を対称行列 $B$ と交代行列 $C$ の和で表す場合、$A = B + C$ となるように $B$ と $C$ を求める。

任意の正方行列 $A$ は、対称行列と交代行列の和として一意に表すことができる。

具体的には、

$B = \frac{1}{2}(A + A^T)$ と $C = \frac{1}{2}(A - A^T)$ とすることで、$A = B + C$ を満たす対称行列 $B$ と交代行列 $C$ が得られる。

まず、$A^T$ を計算する。

$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -4 \\ 7 & 0 & 1 \\ -3 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

次に、$B$ を計算する。

$B = \frac{1}{2}(A + A^T) = \frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 1 & 7 & -3 \\ 5 & 0 & 1 \\ -4 & 1 & 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 5 & -4 \\ 7 & 0 & 1 \\ -3 & 1 & 8 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 12 & -7 \\ 12 & 0 & 2 \\ -7 & 2 & 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -7/2 \\ 6 & 0 & 1 \\ -7/2 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

次に、$C$ を計算する。

$C = \frac{1}{2}(A - A^T) = \frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 1 & 7 & -3 \\ 5 & 0 & 1 \\ -4 & 1 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 5 & -4 \\ 7 & 0 & 1 \\ -3 & 1 & 8 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1/2 \\ -1 & 0 & 0 \\ -1/2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 行列 $B$ が対称行列であるとは、$B^T = B$ が成り立つことである。

(2) 行列 $C$ が交代行列であるとは、$C^T = -C$ が成り立つことである。

(3) $A = B + C$ となる対称行列 $B$ と交代行列 $C$ は以下の通りである。

$B = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -7/2 \\ 6 & 0 & 1 \\ -7/2 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

$C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1/2 \\ -1 & 0 & 0 \\ -1/2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$