与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ の小行列 $\Delta_{11}$ から $\Delta_{33}$ と、余因子 $A_{11}$ から $A_{33}$ の値を求める問題です。

はい、承知しました。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ の小行列 $\Delta_{11}$ から $\Delta_{33}$ と、余因子 $A_{11}$ から $A_{33}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、小行列 $\Delta_{ij}$ は行列 $A$ から $i$ 行と $j$ 列を取り除いた行列の行列式です。余因子 $A_{ij}$ は $(-1)^{i+j} \Delta_{ij}$ で計算されます。

小行列を計算します。

$\Delta_{11} = \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = (5 \times 9) - (6 \times 8) = 45 - 48 = -3$

$\Delta_{12} = \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = (4 \times 9) - (6 \times 7) = 36 - 42 = -6$

$\Delta_{13} = \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = (4 \times 8) - (5 \times 7) = 32 - 35 = -3$

$\Delta_{21} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = (2 \times 9) - (3 \times 8) = 18 - 24 = -6$

$\Delta_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = (1 \times 9) - (3 \times 7) = 9 - 21 = -12$

$\Delta_{23} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = (1 \times 8) - (2 \times 7) = 8 - 14 = -6$

$\Delta_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = (2 \times 6) - (3 \times 5) = 12 - 15 = -3$

$\Delta_{32} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = (1 \times 6) - (3 \times 4) = 6 - 12 = -6$

$\Delta_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = (1 \times 5) - (2 \times 4) = 5 - 8 = -3$

次に、余因子を計算します。

$A_{11} = (-1)^{1+1} \Delta_{11} = 1 \times (-3) = -3$

$A_{12} = (-1)^{1+2} \Delta_{12} = -1 \times (-6) = 6$

$A_{13} = (-1)^{1+3} \Delta_{13} = 1 \times (-3) = -3$

$A_{21} = (-1)^{2+1} \Delta_{21} = -1 \times (-6) = 6$

$A_{22} = (-1)^{2+2} \Delta_{22} = 1 \times (-12) = -12$

$A_{23} = (-1)^{2+3} \Delta_{23} = -1 \times (-6) = 6$

$A_{31} = (-1)^{3+1} \Delta_{31} = 1 \times (-3) = -3$

$A_{32} = (-1)^{3+2} \Delta_{32} = -1 \times (-6) = 6$

$A_{33} = (-1)^{3+3} \Delta_{33} = 1 \times (-3) = -3$

3. 最終的な答え

小行列:

$\Delta_{11} = -3, \Delta_{12} = -6, \Delta_{13} = -3, \Delta_{21} = -6, \Delta_{22} = -12, \Delta_{23} = -6, \Delta_{31} = -3, \Delta_{32} = -6, \Delta_{33} = -3$

余因子:

$A_{11} = -3, A_{12} = 6, A_{13} = -3, A_{21} = 6, A_{22} = -12, A_{23} = 6, A_{31} = -3, A_{32} = 6, A_{33} = -3$