与えられた行列 $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ の逆行列が $\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -5 & 4 & 2 \\ 3 & -2 & -1 \end{pmatrix}$ であることが示されている。この情報を用いて、次の連立方程式を解く。 $ \begin{cases} y+2z = 1 \\ x+2y+3z = 2 \\ -2x-y-z = 3 \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた行列 $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ の逆行列が $\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -5 & 4 & 2 \\ 3 & -2 & -1 \end{pmatrix}$ であることが示されている。この情報を用いて、次の連立方程式を解く。

$\begin{cases} y+2z = 1 \\ x+2y+3z = 2 \\ -2x-y-z = 3 \end{cases}$

2. 解き方の手順

連立方程式を行列で表現すると、次のようになる。

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

与えられた行列を $A$ とし、未知数のベクトルを $X$、右辺のベクトルを $B$ とすると、$AX = B$ となる。

したがって、$X = A^{-1}B$ で解くことができる。$A^{-1}$ は問題文で与えられている。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -5 & 4 & 2 \\ 3 & -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

行列の積を計算する。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1) + (-1)(2) + (-1)(3) \\ -5(1) + 4(2) + 2(3) \\ 3(1) + (-2)(2) + (-1)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 2 - 3 \\ -5 + 8 + 6 \\ 3 - 4 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 9 \\ -4 \end{pmatrix}$

よって、$x = -4$, $y = 9$, $z = -4$

3. 最終的な答え

$x = -4, y = 9, z = -4$