2次方程式 $3x^2 + 3mx + m = 0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $3x^2 + 3mx + m = 0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つための条件は、判別式 $D$ が 0 になることです。

与えられた2次方程式の判別式 $D$ は、

$D = (3m)^2 - 4 \cdot 3 \cdot m$

$D = 9m^2 - 12m$

重解を持つ条件は $D = 0$ なので、

$9m^2 - 12m = 0$

$3m(3m - 4) = 0$

よって、$m = 0$ または $m = \frac{4}{3}$。

(i) $m = 0$ のとき、2次方程式は $3x^2 = 0$ となり、重解は $x = 0$。

(ii) $m = \frac{4}{3}$ のとき、2次方程式は $3x^2 + 3 \cdot \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} = 0$ となり、$3x^2 + 4x + \frac{4}{3} = 0$。

両辺に3をかけて、$9x^2 + 12x + 4 = 0$。

$(3x + 2)^2 = 0$

よって、重解は $x = -\frac{2}{3}$。

3. 最終的な答え

$m = 0$ のとき、重解は $x = 0$。

$m = \frac{4}{3}$ のとき、重解は $x = -\frac{2}{3}$。