方程式 $2\sin\theta + \sqrt{5}\cos\theta = 3$ を満たす $0 \le \theta < 2\pi$ に対して、$\sin\theta$ および $\sin 2\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

方程式 $2\sin\theta + \sqrt{5}\cos\theta = 3$ を満たす $0 \le \theta < 2\pi$ に対して、$\sin\theta$ および $\sin 2\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を$2\sin\theta + \sqrt{5}\cos\theta = 3$ とします。

まず、左辺を合成します。$R\cos\alpha = 2$、 $R\sin\alpha = \sqrt{5}$ を満たす $R$ と $\alpha$ を考えます。

$R = \sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$ となります。

よって、与えられた方程式は

$3\left(\frac{2}{3}\sin\theta + \frac{\sqrt{5}}{3}\cos\theta\right) = 3$

$\frac{2}{3}\sin\theta + \frac{\sqrt{5}}{3}\cos\theta = 1$

ここで、$\cos\alpha = \frac{2}{3}$, $\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$ となるような $\alpha$ を考えます。

$\cos\alpha \sin\theta + \sin\alpha \cos\theta = 1$

$\sin(\theta + \alpha) = 1$

したがって、

$\theta + \alpha = \frac{\pi}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{2} - \alpha$

$\sin\theta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha = \frac{2}{3}$

$\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$ を用います。

$\cos\theta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\sin 2\theta = 2\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) = \frac{4\sqrt{5}}{9}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{2}{3}$

$\sin 2\theta = \frac{4\sqrt{5}}{9}$