関数 $f(x) = -x^2 + ax + a^2$ （$1 \le x \le 5$, $a$は実数）について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ の最大値を $a$ を用いて表してください。 (2) $f(x)$ の最小値が $11$ となる $a$ の値を求めてください。 (3) $f(x)$ の最小値が正となる $a$ の値の範囲を求めてください。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^2 + ax + a^2$ （$1 \le x \le 5$, $a$は実数）について、以下の問いに答えます。

(1) $f(x)$ の最大値を $a$ を用いて表してください。

(2) $f(x)$ の最小値が $11$ となる $a$ の値を求めてください。

(3) $f(x)$ の最小値が正となる $a$ の値の範囲を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - ax) + a^2 = -(x - \frac{a}{2})^2 + \frac{a^2}{4} + a^2 = -(x - \frac{a}{2})^2 + \frac{5}{4}a^2$

よって、軸は $x = \frac{a}{2}$ となります。

(i) $\frac{a}{2} < 1$ つまり $a < 2$ のとき、区間 $[1, 5]$ で $f(x)$ は減少関数なので、$x=1$ で最大値をとります。

$f(1) = -1 + a + a^2$

(ii) $1 \le \frac{a}{2} \le 5$ つまり $2 \le a \le 10$ のとき、$x = \frac{a}{2}$ で最大値をとります。

$f(\frac{a}{2}) = \frac{5}{4}a^2$

(iii) $\frac{a}{2} > 5$ つまり $a > 10$ のとき、区間 $[1, 5]$ で $f(x)$ は増加関数なので、$x=5$ で最大値をとります。

$f(5) = -25 + 5a + a^2$

まとめると、

$a < 2$ のとき、最大値は $-1 + a + a^2$

$2 \le a \le 10$ のとき、最大値は $\frac{5}{4}a^2$

$a > 10$ のとき、最大値は $-25 + 5a + a^2$

(2) $f(x)$ の最小値を考えます。

(i) $\frac{a}{2} < 3$ つまり $a<6$ のとき、区間 $[1,5]$で $f(x)$ は軸から遠い $x=5$ で最小値をとります。

$f(5) = -25 + 5a + a^2 = 11$

$a^2 + 5a - 36 = 0$

$(a+9)(a-4) = 0$

$a = -9, 4$

$a < 6$ より、$a = -9, 4$

(ii) $\frac{a}{2} > 3$ つまり $a>6$ のとき、区間 $[1,5]$で $f(x)$ は軸から遠い $x=1$ で最小値をとります。

$f(1) = -1 + a + a^2 = 11$

$a^2 + a - 12 = 0$

$(a+4)(a-3) = 0$

$a = -4, 3$

$a > 6$ を満たすものはない。

(iii) $\frac{a}{2} = 3$ つまり $a=6$のとき、$f(1) = -1 + 6 + 36 = 41$、$f(5) = -25 + 30 + 36 = 41$

$f(3) = -9 + 18 + 36 = 45$

$f(5)=f(1) \neq 11$より、$a=6$は適さない。

よって、$a = -9, 4$

(3)

(i) $a < 6$ のとき、最小値は $f(5) = -25 + 5a + a^2 > 0$

$a^2 + 5a - 25 > 0$

$a = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 100}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{125}}{2} = \frac{-5 \pm 5\sqrt{5}}{2}$

$a < \frac{-5 - 5\sqrt{5}}{2}, a > \frac{-5 + 5\sqrt{5}}{2}$

$a < 6$ より、$a < \frac{-5 - 5\sqrt{5}}{2}$ または $\frac{-5 + 5\sqrt{5}}{2} < a < 6$

$\frac{-5+5\sqrt{5}}{2} \approx 3.09$

(ii) $a > 6$ のとき、最小値は $f(1) = -1 + a + a^2 > 0$

$a^2 + a - 1 > 0$

$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$a < \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, a > \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

$a > 6$ より、$a > 6$

$\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx 0.618$

(iii) $a=6$のとき、$f(5)=f(1) = -25 + 30 + 36 = 41 >0$

$a < \frac{-5 - 5\sqrt{5}}{2}$ または $\frac{-5 + 5\sqrt{5}}{2} < a$ または $a > 6$

まとめると、$a < \frac{-5 - 5\sqrt{5}}{2}$ または $a > \frac{-5 + 5\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

$a < 2$ のとき、最大値は $-1 + a + a^2$

$2 \le a \le 10$ のとき、最大値は $\frac{5}{4}a^2$

$a > 10$ のとき、最大値は $-25 + 5a + a^2$

(2) $a = -9, 4$

(3) $a < \frac{-5 - 5\sqrt{5}}{2}$ または $a > \frac{-5 + 5\sqrt{5}}{2}$