与えられた式 $(a + 2b + 3c)(a - 2b + 3c)$ を展開して整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a + 2b + 3c)(a - 2b + 3c)$ を展開して整理せよ。

2. 解き方の手順

この式は、和と差の積の形に近いことに気づきます。

$(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$ という公式を利用するために、

$A = a + 3c$、 $B = 2b$ と置くと、与式は $(A + B)(A - B)$ となります。

したがって、

\begin{align*}

(a + 2b + 3c)(a - 2b + 3c) &= ((a + 3c) + 2b)((a + 3c) - 2b) \\

&= (a + 3c)^2 - (2b)^2 \\

&= (a^2 + 6ac + 9c^2) - 4b^2 \\

&= a^2 - 4b^2 + 9c^2 + 6ac

\end{align*}

3. 最終的な答え

$a^2 - 4b^2 + 9c^2 + 6ac$