不等式 $(\frac{1}{3})^n < 0.001$ を満たす最小の整数 $n$ を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ を用います。

1. 問題の内容

不等式 $(\frac{1}{3})^n < 0.001$ を満たす最小の整数 $n$ を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ を用います。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式の両辺の常用対数をとります。

$$\log_{10} \left( \frac{1}{3} \right)^n < \log_{10} 0.001$$

対数の性質より、

$$n \log_{10} \left( \frac{1}{3} \right) < \log_{10} 10^{-3}$$

$$n (\log_{10} 1 - \log_{10} 3) < -3$$

$\log_{10} 1 = 0$ なので、

$$-n \log_{10} 3 < -3$$

両辺を $-1$ で割ると、不等号の向きが変わります。

$$n \log_{10} 3 > 3$$

$n$ について解きます。

$$n > \frac{3}{\log_{10} 3}$$

与えられた値 $\log_{10} 3 = 0.4771$ を代入します。

$$n > \frac{3}{0.4771}$$

$$n > 6.287...$$

$n$ は整数なので、不等式を満たす最小の整数は7です。

3. 最終的な答え

7