不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.01$ を満たす最小の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とする。

1. 問題の内容

不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.01$ を満たす最小の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.01$ を変形します。

$(\frac{1}{2})^n < 0.01$ は、$2^{-n} < \frac{1}{100}$ と書き換えられます。

両辺の逆数を取ると、不等号の向きが変わるので、$2^n > 100$ となります。

次に、両辺の常用対数をとります。

$\log_{10} 2^n > \log_{10} 100$

$n \log_{10} 2 > 2$

$\log_{10} 2 = 0.3010$ を代入します。

$n \times 0.3010 > 2$

$n > \frac{2}{0.3010}$

$n > \frac{2000}{301}$

$n > 6.6445...$

したがって、$n$ は $6.6445...$ より大きい最小の整数なので、$n = 7$ です。

3. 最終的な答え

7