問題は、与えられた数式を因数分解することです。具体的には、 (2) $x^2 - y^2 + 6y - 9$ (3) $9x^4 + 5x^2 - 4$ の2つの式を因数分解します。

## 回答

1. 問題の内容

問題は、与えられた数式を因数分解することです。具体的には、

(2) $x^2 - y^2 + 6y - 9$

(3) $9x^4 + 5x^2 - 4$

の2つの式を因数分解します。

2. 解き方の手順

(2) の式から解いていきます。

まず、$x^2 - y^2 + 6y - 9$ の式を、$x^2$ と $-(y^2 - 6y + 9)$ に分けて考えます。

$y^2 - 6y + 9$ は $(y - 3)^2$ と因数分解できるので、$x^2 - (y - 3)^2$ となります。

これは $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の形の因数分解を利用できます。

$A = x$, $B = y - 3$ とすると、

$x^2 - (y - 3)^2 = (x + (y - 3))(x - (y - 3))$ となります。

これを整理すると、$(x + y - 3)(x - y + 3)$ が得られます。

次に、(3) の式を解いていきます。

$9x^4 + 5x^2 - 4$ は、$x^2 = t$ と置換すると、$9t^2 + 5t - 4$ となります。

この2次式を因数分解します。

$9t^2 + 5t - 4 = (9t - 4)(t + 1)$

ここで $t = x^2$ に戻すと、$(9x^2 - 4)(x^2 + 1)$ となります。

さらに、$9x^2 - 4$ は $(3x)^2 - 2^2$ と見なせるので、$(3x + 2)(3x - 2)$ と因数分解できます。

したがって、$(9x^2 - 4)(x^2 + 1) = (3x + 2)(3x - 2)(x^2 + 1)$ となります。

3. 最終的な答え

(2) の答え： $(x + y - 3)(x - y + 3)$

(3) の答え： $(3x + 2)(3x - 2)(x^2 + 1)$