与えられた連立一次方程式を行列で表現したものを解く問題です。具体的には、以下の式を満たす $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ を求める問題です。 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -5 & 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ -6 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を行列で表現したものを解く問題です。具体的には、以下の式を満たす $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ を求める問題です。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 2 & -1 & 2 \\

2 & 1 & 3 & -1 & -1 \\

-1 & 3 & -5 & 4 & 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

3 \\ -1 \\ -6

\end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

この連立一次方程式を解くために、拡大係数行列を作成し、行基本変形を用いて簡約化します。

拡大係数行列は以下の通りです。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 2 & -1 & 2 & | & 3 \\

2 & 1 & 3 & -1 & -1 & | & -1 \\

-1 & 3 & -5 & 4 & 1 & | & -6

\end{bmatrix}$

(1) 2行目を（2行目 - 2 * 1行目）とします。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 2 & -1 & 2 & | & 3 \\

0 & 1 & -1 & 1 & -5 & | & -7 \\

-1 & 3 & -5 & 4 & 1 & | & -6

\end{bmatrix}$

(2) 3行目を（3行目 + 1行目）とします。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 2 & -1 & 2 & | & 3 \\

0 & 1 & -1 & 1 & -5 & | & -7 \\

0 & 3 & -3 & 3 & 3 & | & -3

\end{bmatrix}$

(3) 3行目を（3行目 - 3 * 2行目）とします。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 2 & -1 & 2 & | & 3 \\

0 & 1 & -1 & 1 & -5 & | & -7 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 18 & | & 18

\end{bmatrix}$

(4) 3行目を (3行目 / 18) とします。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 2 & -1 & 2 & | & 3 \\

0 & 1 & -1 & 1 & -5 & | & -7 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1

\end{bmatrix}$

(5) 1行目を（1行目 - 2 * 3行目）とします。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 2 & -1 & 0 & | & 1 \\

0 & 1 & -1 & 1 & -5 & | & -7 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1

\end{bmatrix}$

(6) 2行目を（2行目 + 5 * 3行目）とします。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 2 & -1 & 0 & | & 1 \\

0 & 1 & -1 & 1 & 0 & | & -2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1

\end{bmatrix}$

したがって、連立一次方程式は以下のようになります。

$x_1 + 2x_3 - x_4 = 1$

$x_2 - x_3 + x_4 = -2$

$x_5 = 1$

$x_3$と$x_4$を任意定数$s, t$とすると，$x_3 = s, x_4 = t$となります。

$x_1 = 1 - 2s + t$

$x_2 = -2 + s - t$

$x_5 = 1$

3. 最終的な答え

解は以下の通りです。

$x_1 = 1 - 2s + t$

$x_2 = -2 + s - t$

$x_3 = s$

$x_4 = t$

$x_5 = 1$

ここで、$s$と$t$は任意の実数です。

あるいは、ベクトル形式で表すと、

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$