与えられた2つの命題の真偽を判定し、正しい組み合わせを選択する問題です。 命題(1): $a, b$ がともに整数ならば、$a+b, ab$ もともに整数である。 命題(2): $a > b$, $a \neq 0$, $b \neq 0$ ならば、$\frac{x}{a} < \frac{x}{b}$ である。

1. 問題の内容

与えられた2つの命題の真偽を判定し、正しい組み合わせを選択する問題です。

命題(1): $a, b$ がともに整数ならば、$a+b, ab$ もともに整数である。

命題(2): $a > b$, $a \neq 0$, $b \neq 0$ ならば、$\frac{x}{a} < \frac{x}{b}$ である。

2. 解き方の手順

命題(1)について:

$a, b$ が整数であるとき、$a+b$ と $ab$ は必ず整数になります。整数の和と積は常に整数だからです。したがって、命題(1)は真です。

命題(2)について:

$a > b$ であり、$a \neq 0$, $b \neq 0$ であるとき、$\frac{x}{a} < \frac{x}{b}$ が常に成り立つとは限りません。

例えば、$x = 1, a = 2, b = 1$ の場合、$a > b$ かつ $a \neq 0$, $b \neq 0$ を満たしますが、$\frac{x}{a} = \frac{1}{2}$ であり、$\frac{x}{b} = \frac{1}{1} = 1$ なので、$\frac{x}{a} < \frac{x}{b}$ が成り立ちます。

しかし、$x = -1, a = 2, b = 1$ の場合、$a > b$ かつ $a \neq 0$, $b \neq 0$ を満たしますが、$\frac{x}{a} = \frac{-1}{2}$ であり、$\frac{x}{b} = \frac{-1}{1} = -1$ なので、$\frac{x}{a} > \frac{x}{b}$ となり成り立ちません。

したがって、命題(2)は偽です。

命題(1)は真、命題(2)は偽という組み合わせを探します。

3. 最終的な答え

4 (1)真 (2)偽