与えられた連立一次方程式について、以下の問いに答えます。 連立一次方程式は $ \begin{cases} x + 3z = 1 \\ 2x + 3y + 4z = 3 \\ x + 3y + z = a \end{cases} $ で与えられます。 (1) 係数行列 $A$ の階数 rank($A$) を求めます。 (2) $A$ が正則行列かどうかを判定します。 (3) 連立方程式が解を持つように定数 $a$ の値を求めます。 (4) (3) で求めた定数 $a$ のとき、連立方程式の解を全て求めます。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式について、以下の問いに答えます。

連立一次方程式は

$ \begin{cases}

x + 3z = 1 \\

2x + 3y + 4z = 3 \\

x + 3y + z = a

\end{cases} $

で与えられます。

(1) 係数行列 $A$ の階数 rank($A$) を求めます。

(2) $A$ が正則行列かどうかを判定します。

(3) 連立方程式が解を持つように定数 $a$ の値を求めます。

(4) (3) で求めた定数 $a$ のとき、連立方程式の解を全て求めます。

2. 解き方の手順

(1) 係数行列 $A$ は

$ A = \begin{pmatrix}

1 & 0 & 3 \\

2 & 3 & 4 \\

1 & 3 & 1

\end{pmatrix} $

です。

$A$ の階数を求めるために、行列を簡約化します。

まず、2行目から1行目の2倍を引きます。

$ \begin{pmatrix}

1 & 0 & 3 \\

0 & 3 & -2 \\

1 & 3 & 1

\end{pmatrix} $

次に、3行目から1行目を引きます。

$ \begin{pmatrix}

1 & 0 & 3 \\

0 & 3 & -2 \\

0 & 3 & -2

\end{pmatrix} $

最後に、3行目から2行目を引きます。

$ \begin{pmatrix}

1 & 0 & 3 \\

0 & 3 & -2 \\

0 & 0 & 0

\end{pmatrix} $

簡約化された行列は、2つの線形独立な行を持つので、rank($A$) = 2 です。

(2) 正方行列 $A$ が正則であるためには、rank($A$) が $A$ のサイズ (今回は3) に等しくなければなりません。

rank($A$) = 2 < 3 であるため、$A$ は正則行列ではありません。

(3) 連立方程式が解を持つためには、拡大係数行列の階数と係数行列の階数が一致する必要があります。拡大係数行列 $B$ は

$ B = \begin{pmatrix}

1 & 0 & 3 & 1 \\

2 & 3 & 4 & 3 \\

1 & 3 & 1 & a

\end{pmatrix} $

です。

$B$ に行基本変形を行います。

$ \begin{pmatrix}

1 & 0 & 3 & 1 \\

0 & 3 & -2 & 1 \\

0 & 3 & -2 & a-1

\end{pmatrix} $

$ \begin{pmatrix}

1 & 0 & 3 & 1 \\

0 & 3 & -2 & 1 \\

0 & 0 & 0 & a-2

\end{pmatrix} $

連立方程式が解を持つためには、rank($A$) = rank($B$) である必要があるので、$a-2 = 0$ すなわち $a = 2$ でなければなりません。

(4) $a = 2$ のとき、連立方程式は

$ \begin{cases}

x + 3z = 1 \\

2x + 3y + 4z = 3 \\

x + 3y + z = 2

\end{cases} $

となります。

簡約化された行列は

$ \begin{pmatrix}

1 & 0 & 3 & 1 \\

0 & 3 & -2 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix} $

なので、

$ \begin{cases}

x + 3z = 1 \\

3y - 2z = 1

\end{cases} $

です。$z = t$ ($t$ は任意の実数) とおくと、

$x = 1 - 3t$

$y = \frac{1 + 2t}{3}$

となります。

3. 最終的な答え

(1) rank($A$) = 2

(2) $A$ は正則行列ではない

(3) $a = 2$

(4) $ \begin{cases}

x = 1 - 3t \\

y = \frac{1 + 2t}{3} \\

z = t

\end{cases} $ (tは任意の実数)