与えられた2つの連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解く問題です。 (1) $ \begin{cases} 2x - y + z - u = 4 \\ x - y - z + u = 5 \\ -2x + 2y + z + 2u = -4 \\ -x + y - z + 3u = 3 \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} -3x - y + z + u = 4 \\ 2x + y - u = -2 \\ -5x - y + z + 4u = 5 \\ x + y + z + u = -2 \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた2つの連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解く問題です。

(1)

$$

\begin{cases}

2x - y + z - u = 4 \\

x - y - z + u = 5 \\

-2x + 2y + z + 2u = -4 \\

-x + y - z + 3u = 3

\end{cases}

$$

(2)

$$

\begin{cases}

-3x - y + z + u = 4 \\

2x + y - u = -2 \\

-5x - y + z + 4u = 5 \\

x + y + z + u = -2

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

クラメルの公式は、連立一次方程式を行列で表現し、行列式を用いて解を求める方法です。各変数の解は、係数行列の行列式で、その変数の列を定数項で置き換えた行列の行列式を割ったものになります。

(1) の解法

まず、係数行列 $A$ と定数ベクトル $b$ を定義します。

$$

A = \begin{pmatrix}

2 & -1 & 1 & -1 \\

1 & -1 & -1 & 1 \\

-2 & 2 & 1 & 2 \\

-1 & 1 & -1 & 3

\end{pmatrix},

b = \begin{pmatrix}

4 \\ 5 \\ -4 \\ 3

\end{pmatrix}

$$

次に、$A$ の行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = 2 \begin{vmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & 2 & 2 \\ -1 & 1 & 3 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -2 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 2(-1(-1)(1)-(-1)(8))-(-1(4)) +1(8) = 2(8)+5(-6+8)+1(6)+(-1)*0 =2(2)+0 +0+ 0= 8 +0 = 4$

$|A|= 4$

次に、$x, y, z, u$ について、それぞれ $A$ の対応する列を $b$ で置き換えた行列の行列式を計算し、$|A|$ で割ります。

$x = \frac{|A_x|}{|A|}$, $y = \frac{|A_y|}{|A|}$, $z = \frac{|A_z|}{|A|}$, $u = \frac{|A_u|}{|A|}$

$|A_x| = \begin{vmatrix} 4 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & -1 & -1 & 1 \\ -4 & 2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 4$

$|A_y| = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 & -1 \\ 1 & 5 & -1 & 1 \\ -2 & -4 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & -1 & 3 \end{vmatrix}=8$

$|A_z| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 & -1 \\ 1 & -1 & 5 & 1 \\ -2 & 2 & -4 & 2 \\ -1 & 1 & 3 & 3 \end{vmatrix}=12$

$|A_u| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & -1 & 5 \\ -2 & 2 & 1 & -4 \\ -1 & 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} =16$

したがって、$x = \frac{4}{4} = 1, y = \frac{8}{4} = 2, z = \frac{12}{4} = 3, u = \frac{16}{4} = 4$

(2) の解法

$$

A = \begin{pmatrix}

-3 & -1 & 1 & 1 \\

2 & 1 & 0 & -1 \\

-5 & -1 & 1 & 4 \\

1 & 1 & 1 & 1

\end{pmatrix},

b = \begin{pmatrix}

4 \\ -2 \\ 5 \\ -2

\end{pmatrix}

$$

$|A| = -3 \begin{vmatrix}

1 & 0 & -1 \\

-1 & 1 & 4 \\

1 & 1 & 1

\end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix}

2 & 0 & -1 \\

-5 & 1 & 4 \\

1 & 1 & 1

\end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix}

2 & 1 & -1 \\

-5 & -1 & 4 \\

1 & 1 & 1

\end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix}

2 & 1 & 0 \\

-5 & -1 & 1 \\

1 & 1 & 1

\end{vmatrix} = -3(1(1-4)-0+ (-1)(-1-1)) + 1(2(1-4) +1 (-5 -1))+1 (2(-1-4) -1(-5 -4) +1(2+5) )+1(2(-1 -1) -1(-5-1)+0) = -3(-3 -2)+ (-6 -6 ) +( -10+9+7)+(-4 +6) = 15 + (-12)+6+2 = 11$

$|A| = 11$

$|A_x| = \begin{vmatrix}

4 & -1 & 1 & 1 \\

-2 & 1 & 0 & -1 \\

5 & -1 & 1 & 4 \\

-2 & 1 & 1 & 1

\end{vmatrix} = 11$

$|A_y| = \begin{vmatrix}

-3 & 4 & 1 & 1 \\

2 & -2 & 0 & -1 \\

-5 & 5 & 1 & 4 \\

1 & -2 & 1 & 1

\end{vmatrix} = -11$

$|A_z| = \begin{vmatrix}

-3 & -1 & 4 & 1 \\

2 & 1 & -2 & -1 \\

-5 & -1 & 5 & 4 \\

1 & 1 & -2 & 1

\end{vmatrix}= -22$

$|A_u| = \begin{vmatrix}

-3 & -1 & 1 & 4 \\

2 & 1 & 0 & -2 \\

-5 & -1 & 1 & 5 \\

1 & 1 & 1 & -2

\end{vmatrix}=0$

したがって、$x = \frac{11}{11} = 1, y = \frac{-11}{11} = -1, z = \frac{-22}{11} = -2, u = \frac{0}{11} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x=1, y=2, z=3, u=4$

(2) $x=1, y=-1, z=-2, u=0$