2つの不等式 $3|x| - |x-2| \le 8$ (①) と $2x+7 \ge 0$ (②) について、以下の問いに答える問題です。 (1) $x$ の範囲によって $3|x| - |x-2|$ の式を求める。 (2) 不等式①の解を求める。 (3) 不等式①と②をともに満たす整数の個数を求める。

1. 問題の内容

2つの不等式 $3|x| - |x-2| \le 8$ (①) と $2x+7 \ge 0$ (②) について、以下の問いに答える問題です。

(1) $x$ の範囲によって $3|x| - |x-2|$ の式を求める。

(2) 不等式①の解を求める。

(3) 不等式①と②をともに満たす整数の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x<0$ のとき

$|x| = -x$、 $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ より、

$3|x| - |x-2| = 3(-x) - (-x+2) = -3x + x - 2 = -2x - 2$

$0 \le x < 2$ のとき

$|x| = x$、 $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ より、

$3|x| - |x-2| = 3x - (-x+2) = 3x + x - 2 = 4x - 2$

$2 \le x$ のとき

$|x| = x$、 $|x-2| = x-2$ より、

$3|x| - |x-2| = 3x - (x-2) = 3x - x + 2 = 2x + 2$

(2) ① $3|x| - |x-2| \le 8$ の解を求める。

$x<0$ のとき、 $-2x - 2 \le 8$ より、 $-2x \le 10$、 $x \ge -5$

よって、$-5 \le x < 0$

$0 \le x < 2$ のとき、 $4x - 2 \le 8$ より、 $4x \le 10$、 $x \le \frac{5}{2} = 2.5$

よって、$0 \le x < 2$

$2 \le x$ のとき、 $2x + 2 \le 8$ より、 $2x \le 6$、 $x \le 3$

よって、$2 \le x \le 3$

したがって、①の解は $-5 \le x \le 3$

(3) ② $2x + 7 \ge 0$ の解は、 $2x \ge -7$、 $x \ge -\frac{7}{2} = -3.5$

①と②をともに満たす $x$ の範囲は、 $-3.5 \le x \le 3$

この範囲に含まれる整数は、$-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ の7個

3. 最終的な答え

(1)

$x<0$ のとき $3|x| - |x-2| = -2x - 2$

$0 \le x < 2$ のとき $3|x| - |x-2| = 4x - 2$

$2 \le x$ のとき $3|x| - |x-2| = 2x + 2$

(2) ①の解は $-5 \le x \le 3$

(3) ①, ②をともに満たす $x$ のうち、整数であるものの個数は $7$ 個