(1) $\sqrt[3]{2}$ が無理数であることを証明せよ。 (2) $P(x)$ を有理数を係数とする $x$ の多項式で、$P(\sqrt[3]{2}) = 0$ を満たしているとする。このとき、$P(x)$ は $x^3 - 2$ で割り切れることを証明せよ。

1. 問題の内容

(1) $\sqrt[3]{2}$ が無理数であることを証明せよ。

(2) $P(x)$ を有理数を係数とする $x$ の多項式で、$P(\sqrt[3]{2}) = 0$ を満たしているとする。このとき、$P(x)$ は $x^3 - 2$ で割り切れることを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt[3]{2}$ が無理数であることの証明：

背理法を用いる。$\sqrt[3]{2}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な整数 $p, q$ を用いて $\sqrt[3]{2} = \frac{p}{q}$ と表せる。

このとき、両辺を3乗すると、

$2 = \frac{p^3}{q^3}$

$2q^3 = p^3$

よって、$p^3$ は偶数であるから、$p$ も偶数である。そこで、$p = 2k$ ($k$ は整数) とおくと、

$2q^3 = (2k)^3 = 8k^3$

$q^3 = 4k^3$

よって、$q^3$ は偶数であるから、$q$ も偶数である。

$p$ と $q$ がともに偶数となり、互いに素であるという仮定に矛盾する。したがって、$\sqrt[3]{2}$ は無理数である。

(2) $P(x)$ が $x^3 - 2$ で割り切れることの証明：

$P(x)$ を $x^3 - 2$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax^2 + bx + c$ とする。ここで、$a, b, c$ は有理数である。

$P(x) = (x^3 - 2)Q(x) + ax^2 + bx + c$

$x = \sqrt[3]{2}$ を代入すると、

$P(\sqrt[3]{2}) = ((\sqrt[3]{2})^3 - 2)Q(\sqrt[3]{2}) + a(\sqrt[3]{2})^2 + b\sqrt[3]{2} + c$

$P(\sqrt[3]{2}) = 0$ なので、

$0 = (2 - 2)Q(\sqrt[3]{2}) + a(\sqrt[3]{2})^2 + b\sqrt[3]{2} + c$

$0 = a(\sqrt[3]{2})^2 + b\sqrt[3]{2} + c$

$a\sqrt[3]{4} + b\sqrt[3]{2} + c = 0$

ここで、$a, b, c$ は有理数であり、$\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4}$ は無理数なので、$a = b = c = 0$ でなければならない。

もし、$a, b, c$ のうち少なくとも一つが 0 でないならば、$a\sqrt[3]{4} + b\sqrt[3]{2} + c = 0$ を満たす $\sqrt[3]{2}$ は有理数となり矛盾する。

したがって、$a = b = c = 0$ である。

よって、$P(x) = (x^3 - 2)Q(x)$ となり、$P(x)$ は $x^3 - 2$ で割り切れる。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt[3]{2}$ は無理数である。（証明終わり）

(2) $P(x)$ は $x^3 - 2$ で割り切れる。（証明終わり）