数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が漸化式 $a_{n+1} = 6a_n + 2b_n$, $b_{n+1} = -2a_n + 2b_n$ で定義され、初期値は $a_1 = 2$, $b_1 = 2$ である。 (1) $c_n = a_n + b_n$ で定義される数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。 (3) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が漸化式 $a_{n+1} = 6a_n + 2b_n$, $b_{n+1} = -2a_n + 2b_n$ で定義され、初期値は $a_1 = 2$, $b_1 = 2$ である。

(1) $c_n = a_n + b_n$ で定義される数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(3) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$c_n = a_n + b_n$ とすると、

$c_{n+1} = a_{n+1} + b_{n+1} = (6a_n + 2b_n) + (-2a_n + 2b_n) = 4a_n + 4b_n = 4(a_n + b_n) = 4c_n$

したがって、$\{c_n\}$ は公比4の等比数列である。

$c_1 = a_1 + b_1 = 2 + 2 = 4$ より、初項は4。

よって、$c_n = 4 \cdot 4^{n-1} = 4^n$

(2)

$b_n = c_n - a_n$ であるから、$a_{n+1} = 6a_n + 2(c_n - a_n) = 4a_n + 2c_n = 4a_n + 2 \cdot 4^n$

よって、$a_{n+1} = 4a_n + 2 \cdot 4^n$

この漸化式を解く。両辺を $4^{n+1}$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{4^{n+1}} = \frac{4a_n}{4^{n+1}} + \frac{2 \cdot 4^n}{4^{n+1}} = \frac{a_n}{4^n} + \frac{2}{4} = \frac{a_n}{4^n} + \frac{1}{2}$

$d_n = \frac{a_n}{4^n}$ とおくと、$d_{n+1} = d_n + \frac{1}{2}$

これは初項 $\frac{a_1}{4^1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$、公差 $\frac{1}{2}$ の等差数列である。

よって、$d_n = \frac{1}{2} + (n-1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{2}$

したがって、$a_n = 4^n d_n = 4^n \cdot \frac{n}{2} = n \cdot 2^{2n-1}$

(3)

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n k \cdot 2^{2k-1} = \sum_{k=1}^n k \cdot 4^{k-1} \cdot 2 = 2 \sum_{k=1}^n k \cdot 4^{k-1}$

$T_n = \sum_{k=1}^n k \cdot 4^{k-1} = 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4^2 + \cdots + n \cdot 4^{n-1}$

$4T_n = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4^3 + \cdots + (n-1) \cdot 4^{n-1} + n \cdot 4^n$

$T_n - 4T_n = 1 + 4 + 4^2 + \cdots + 4^{n-1} - n \cdot 4^n = \frac{1-4^n}{1-4} - n \cdot 4^n = \frac{4^n-1}{3} - n \cdot 4^n$

$-3T_n = \frac{4^n - 1 - 3n \cdot 4^n}{3}$

$T_n = \frac{3n \cdot 4^n - 4^n + 1}{-9} = \frac{(3n-1)4^n+1}{9}$

$S_n = 2 T_n = 2 \cdot \frac{(3n-1)4^n+1}{9} = \frac{2(3n-1)4^n+2}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $c_n = 4^n$

(2) $a_n = n \cdot 2^{2n-1}$

(3) $S_n = \frac{2(3n-1)4^n+2}{9}$