連立不等式 $x \geq 0, y \geq 0, x + 2y \leq 10, 2x + y \leq 14$ を満たす $x, y$ について、 (1) $x+3y$ の取りうる値の範囲を求める。 (2) $2x+3y$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

連立不等式

$x \geq 0, y \geq 0, x + 2y \leq 10, 2x + y \leq 14$

を満たす $x, y$ について、

(1) $x+3y$ の取りうる値の範囲を求める。

(2) $2x+3y$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立不等式を満たす領域を図示する。

$x \geq 0, y \geq 0$ より、領域は第1象限に限定される。

$x + 2y \leq 10$ は直線 $x + 2y = 10$ の下側。

$2x + y \leq 14$ は直線 $2x + y = 14$ の下側。

これらの不等式を満たす領域は、四角形(0,0), (7,0), (6,2), (0,5)の内部及び周上となる。

(1) $x + 3y = k$ とおき、$k$ の取りうる範囲を求める。

$x + 3y = k$ すなわち $y = -\frac{1}{3}x + \frac{k}{3}$ は傾き$-\frac{1}{3}$、切片$\frac{k}{3}$の直線を表す。

この直線が四角形(0,0), (7,0), (6,2), (0,5)の内部または周上を通るように、$k$の値を変化させる。

$k$ が最小となるのは、直線 $x+3y=k$ が原点を通るときで、 $k = 0$ である。

$k$ が最大となるのは、直線 $x+3y=k$ が点 (6,2) を通るときで、 $k = 6 + 3(2) = 6 + 6 = 12$ である。

したがって、$0 \leq x+3y \leq 12$

(2) $2x + 3y = l$ とおき、$l$ の最大値を求める。

$2x + 3y = l$ すなわち $y = -\frac{2}{3}x + \frac{l}{3}$ は傾き$-\frac{2}{3}$、切片$\frac{l}{3}$の直線を表す。

この直線が四角形(0,0), (7,0), (6,2), (0,5)の内部または周上を通るように、$l$の値を変化させる。

$l$ が最大となるのは、直線 $2x+3y=l$ が点 (6,2) を通るときで、 $l = 2(6) + 3(2) = 12 + 6 = 18$ である。

したがって、$2x+3y$ の最大値は 18 である。

3. 最終的な答え

$0 \leq x + 3y \leq 12$

$2x + 3y$ の最大値は 18 である。