4次方程式 $x^4 - 3x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ について、以下の問いに答えます。 (1) $a=-4$, $b=0$, $c=0$ のときの解を求めます。 (2) $a=5$, $b=-3$, $c=0$ のときの解を求めます。 (3) 方程式が $x=2$ と $x=i$ を解に持つとき、$a, b, c$ の値を求め、そのときの他の解を求めます。 (4) (3)のとき、条件「$x^2 + px + q = 0$ を満たすすべての $x$ は与えられた4次方程式を満たす」を満たす実数 $p, q$ の値の組をすべて求めます。

1. 問題の内容

4次方程式 $x^4 - 3x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ について、以下の問いに答えます。

(1) $a=-4$, $b=0$, $c=0$ のときの解を求めます。

(2) $a=5$, $b=-3$, $c=0$ のときの解を求めます。

(3) 方程式が $x=2$ と $x=i$ を解に持つとき、$a, b, c$ の値を求め、そのときの他の解を求めます。

(4) (3)のとき、条件「$x^2 + px + q = 0$ を満たすすべての $x$ は与えられた4次方程式を満たす」を満たす実数 $p, q$ の値の組をすべて求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a=-4, b=0, c=0$ を代入すると、

$x^4 - 3x^3 - 4x^2 = 0$

$x^2(x^2 - 3x - 4) = 0$

$x^2(x-4)(x+1) = 0$

よって、$x = 0, 4, -1$

(2) $a=5, b=-3, c=0$ を代入すると、

$x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 3x = 0$

$x(x^3 - 3x^2 + 5x - 3) = 0$

$x(x-1)(x^2 - 2x + 3) = 0$

$x^2 - 2x + 3 = 0$ を解くと、$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-8}}{2} = 1 \pm i\sqrt{2}$

よって、$x = 0, 1, 1+i\sqrt{2}, 1-i\sqrt{2}$

(3) $x=2$ と $x=i$ が解なので、$x=\bar{i} = -i$ も解です。

4次方程式は、$x=2, i, -i$ を解に持つので、$(x-2)(x-i)(x+i) = (x-2)(x^2+1) = x^3 - 2x^2 + x - 2$ を因数に持ちます。

$x^4 - 3x^3 + ax^2 + bx + c = (x^3 - 2x^2 + x - 2)(x+k) = x^4 + (k-2)x^3 + (-2k+1)x^2 + (k-2)x - 2k$

係数を比較すると、

$k-2 = -3$ より $k = -1$

$-2k+1 = a$ より $a = 2+1 = 3$

$k-2 = b$ より $b = -1-2 = -3$

$-2k = c$ より $c = 2$

よって、$a=3, b=-3, c=2$

$(x-2)(x^2+1)(x-1) = (x-2)(x^3 - x^2 + x - 1) = x^4-3x^3+3x^2-3x+2 = 0$

他の解は $x=1$

(4) (3)より、与えられた4次方程式は $x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 3x + 2 = 0$ です。また、解は $x=2, i, -i, 1$ です。条件より、$x^2 + px + q = 0$ の解はすべて $x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 3x + 2 = 0$ を満たす必要があります。

$x^2 + px + q = 0$ の解の候補は $\{2, i, -i, 1\}$ です。

解が $2,1$ の時、$(x-2)(x-1) = x^2 - 3x + 2 = 0$. $p=-3, q=2$.

解が $i, -i$ の時、$(x-i)(x+i) = x^2+1 = 0$. $p=0, q=1$.

解が $2, i$ (または他の組み合わせ) の時、2次方程式は実数係数を持たないので不適。

3. 最終的な答え

(1) $x = 0, 4, -1$

(2) $x = 0, 1, 1+i\sqrt{2}, 1-i\sqrt{2}$

(3) $a=3, b=-3, c=2$, 他の解は $x=1$

(4) $(p, q) = (-3, 2), (0, 1)$