2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ が $x = 2$ を軸とし、点 $(3, -4)$ と点 $(5, 12)$ を通る。このとき、$a, b, c$ の値を求め、さらに $x, y$ の関数 $P = x^2 - 2x - 6xy + 10y^2 + 2y + 3$ の最小値とそのときの $x, y$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ が $x = 2$ を軸とし、点 $(3, -4)$ と点 $(5, 12)$ を通る。このとき、$a, b, c$ の値を求め、さらに $x, y$ の関数 $P = x^2 - 2x - 6xy + 10y^2 + 2y + 3$ の最小値とそのときの $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = ax^2 + bx + c$ の軸が $x = 2$ であることから、$y = a(x - 2)^2 + q$ と表せる。

(2) 点 $(3, -4)$ を通ることから、 $-4 = a(3 - 2)^2 + q = a + q$。

(3) 点 $(5, 12)$ を通ることから、 $12 = a(5 - 2)^2 + q = 9a + q$。

(4) (2)と(3)の連立方程式を解く。

$9a + q = 12$

$a + q = -4$

辺々引いて $8a = 16$ より $a = 2$。

$q = -4 - a = -4 - 2 = -6$。

よって、$y = 2(x - 2)^2 - 6 = 2(x^2 - 4x + 4) - 6 = 2x^2 - 8x + 8 - 6 = 2x^2 - 8x + 2$。

したがって、$a = 2, b = -8, c = 2$。

(5) $P = x^2 - 2x - 6xy + 10y^2 + 2y + 3$ を変形する。

$P = x^2 - (2 + 6y)x + 10y^2 + 2y + 3$

$P = (x - (1 + 3y))^2 - (1 + 3y)^2 + 10y^2 + 2y + 3$

$P = (x - 1 - 3y)^2 - (1 + 6y + 9y^2) + 10y^2 + 2y + 3$

$P = (x - 1 - 3y)^2 + y^2 - 4y + 2$

$P = (x - 1 - 3y)^2 + (y - 2)^2 - 4 + 2$

$P = (x - 1 - 3y)^2 + (y - 2)^2 - 2$

$P$ が最小となるのは $x - 1 - 3y = 0$ かつ $y - 2 = 0$ のときである。

$y = 2$ のとき、$x = 1 + 3y = 1 + 3(2) = 1 + 6 = 7$。

このとき、$P$ の最小値は $-2$。

3. 最終的な答え

$a = 2, b = -8, c = 2$

$x = 7, y = 2$ のとき、最小値 $-2$。