## 1. 問題の内容

代数学行列行列計算連立一次方程式行列式ランク対称行列交代行列
2025/7/25
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1. 問題の内容

問題は大きく分けて4つあります。

1. 2つの行列$A, B$が与えられたとき、$AB-BA$, $(A+B)(A-B)$, ${}^tAA + {}^tBB$を計算する。

2. 4つの行列$A, B, C, D$が与えられたとき、行列の積が定義できる組を全て挙げ、その積を計算する。

3. 連立一次方程式が与えられたとき、係数行列$A$の階数$rank(A)$を求め、$A$が正則行列かどうかを判定し、連立方程式が解を持つように定数$a$の値を求め、そのときの解を全て求める。

4. 行列$A$が与えられたとき、対称行列の定義、交代行列の定義を書き、$A$を対称行列$B$と交代行列$C$の和で表す。

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2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を説明します。
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1. 行列の計算

(1) ABBAAB - BAを計算します。まず、ABABBABAを計算し、その差を計算します。
A=(100251632)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{pmatrix}, B=(324130061)B = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix}
AB=(3241157152725)AB = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 11 & -5 & 7 \\ 15 & 27 & 25 \end{pmatrix}, BA=(3118415412302)BA = \begin{pmatrix} 31 & 1 & 8 \\ -4 & -15 & -4 \\ 12 & 30 & 2 \end{pmatrix}
ABBA=(28141510113323)AB - BA = \begin{pmatrix} -28 & 1 & -4 \\ 15 & 10 & 11 \\ 3 & -3 & 23 \end{pmatrix}
(2) (A+B)(AB)(A+B)(A-B)を計算します。まず、A+BA+BABA-Bを計算し、その積を計算します。
A+B=(424321633)A+B = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & -1 \\ 6 & 3 & 3 \end{pmatrix}, AB=(224181691)A-B = \begin{pmatrix} -2 & -2 & -4 \\ 1 & 8 & -1 \\ 6 & -9 & 1 \end{pmatrix}
(A+B)(AB)=(2021811115304524)(A+B)(A-B) = \begin{pmatrix} 20 & -2 & -18 \\ -1 & 11 & -15 \\ 30 & -45 & -24 \end{pmatrix}
(3) tAA+tBB{}^tAA + {}^tBBを計算します。まず、tA{}^tAtB{}^tBを計算し、tAA{}^tAAtBB{}^tBBを計算し、その和を計算します。
tA=(126053012){}^tA = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 0 & 5 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}, tB=(310236401){}^tB = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 6 \\ 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}
tAA=(4181282619121940){}^tAA = \begin{pmatrix} 41 & -8 & 12 \\ -8 & 26 & -19 \\ 12 & -19 & 40 \end{pmatrix}, tBB=(1051254612121237){}^tBB = \begin{pmatrix} 10 & -5 & 12 \\ -5 & 46 & -12 \\ 12 & -12 & 37 \end{pmatrix}
tAA+tBB=(511324137231243177){}^tAA + {}^tBB = \begin{pmatrix} 51 & -13 & 24 \\ -13 & 72 & -31 \\ 24 & -31 & 77 \end{pmatrix}
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2. 行列の積の定義

行列の積が定義できるのは、Am×nA_{m \times n}Bp×qB_{p \times q}のとき、n=pn = pの場合のみです。
与えられた行列は以下の通りです。
A=(213501)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{pmatrix}, B=(514)B = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 4 \end{pmatrix}, C=(413017)C = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 0 \\ -1 & 7 \end{pmatrix}, D=(015321536)D = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & -6 \end{pmatrix}
それぞれのサイズは、A:2×3A: 2 \times 3, B:1×3B: 1 \times 3, C:3×2C: 3 \times 2, D:3×3D: 3 \times 3です。
したがって積が定義できるのは、
* ACAC: (2×3)(3×2)=2×2(2 \times 3)(3 \times 2) = 2 \times 2
* ADAD: (2×3)(3×3)=2×3(2 \times 3)(3 \times 3) = 2 \times 3
* CACA: (3×2)(2×3)=3×3(3 \times 2)(2 \times 3) = 3 \times 3
* DCDC: (3×3)(3×2)=3×2(3 \times 3)(3 \times 2) = 3 \times 2
* CBCB: (3×2)(1×3)(3 \times 2)(1 \times 3) は定義できない
* BDBD: (1×3)(3×3)=1×3(1 \times 3)(3 \times 3) = 1 \times 3
となります。これらの積を計算します。
AC=(4232112)AC = \begin{pmatrix} 4 & 23 \\ -21 & -12 \end{pmatrix}
AD=(121415231)AD = \begin{pmatrix} 12 & 14 & -1 \\ 5 & -2 & -31 \end{pmatrix}
CA=(34136393714)CA = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 13 \\ 6 & 3 & 9 \\ -37 & -1 & -4 \end{pmatrix}
DC=(21321416)DC = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -2 \\ 14 & 16 \end{pmatrix}
BD=(171411)BD = \begin{pmatrix} 17 & 14 & -11 \end{pmatrix}
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3. 連立一次方程式

{x+3z=12x+3y+4z=3x+3y+z=a\begin{cases} x + 3z = 1 \\ 2x + 3y + 4z = 3 \\ x + 3y + z = a \end{cases}
(1) 係数行列Aは
A=(103234131)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}
rank(A)rank(A)を求める。行列式を計算すると、
det(A)=1(312)0+3(63)=9+9=0det(A) = 1(3-12) - 0 + 3(6-3) = -9+9 = 0
したがって、rank(A)<3rank(A) < 3
小行列式を計算すると、例えば
1023=30\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 \ne 0
したがって、rank(A)=2rank(A) = 2
(2) det(A)=0det(A) = 0なので、AAは正則行列ではない。
(3) 拡大係数行列は
A=(10312343131a)A' = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 1 & a \end{pmatrix}
行基本変形を行う。
(10310321032a1)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -2 & a-1 \end{pmatrix}
(10310321000a2)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & a-2 \end{pmatrix}
解を持つためには、a2=0a-2 = 0でなければならない。したがって、a=2a = 2
(4) a=2a=2のとき、連立方程式は
{x+3z=13y2z=1\begin{cases} x + 3z = 1 \\ 3y - 2z = 1 \end{cases}
z=tz = tとおくと
x=13tx = 1 - 3t
3y=1+2t3y = 1 + 2t
y=13+23ty = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}t
したがって、解は
(xyz)=(1130)+t(3231)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{3} \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -3 \\ \frac{2}{3} \\ 1 \end{pmatrix}
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4. 対称行列と交代行列

(1) 行列BBが対称行列であるとは、tB=B{}^tB = Bを満たすことである。つまり、bij=bjib_{ij} = b_{ji}が全てのi,ji, jについて成り立つ。
(2) 行列CCが交代行列であるとは、tC=C{}^tC = -Cを満たすことである。つまり、cij=cjic_{ij} = -c_{ji}が全てのi,ji, jについて成り立つ。特に、対角成分は全て0である。
(3) 行列AAを対称行列BBと交代行列CCの和で表す。
A=(173501418)A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & -3 \\ 5 & 0 & 1 \\ -4 & 1 & 8 \end{pmatrix}
B=12(A+tA)B = \frac{1}{2}(A + {}^tA), C=12(AtA)C = \frac{1}{2}(A - {}^tA)とすると、A=B+CA = B + Cとなる。
tA=(154701318){}^tA = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -4 \\ 7 & 0 & 1 \\ -3 & 1 & 8 \end{pmatrix}
B=12(212712027216)=(16726017218)B = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 12 & -7 \\ 12 & 0 & 2 \\ -7 & 2 & 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -\frac{7}{2} \\ 6 & 0 & 1 \\ -\frac{7}{2} & 1 & 8 \end{pmatrix}
C=12(021200100)=(01121001200)C = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ -1 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 \end{pmatrix}
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3. 最終的な答え

1. (1) $\begin{pmatrix} -28 & 1 & -4 \\ 15 & 10 & 11 \\ 3 & -3 & 23 \end{pmatrix}$

(2) (2021811115304524)\begin{pmatrix} 20 & -2 & -18 \\ -1 & 11 & -15 \\ 30 & -45 & -24 \end{pmatrix}
(3) (511324137231243177)\begin{pmatrix} 51 & -13 & 24 \\ -13 & 72 & -31 \\ 24 & -31 & 77 \end{pmatrix}

2. $AC = \begin{pmatrix} 4 & 23 \\ -21 & -12 \end{pmatrix}$, $AD = \begin{pmatrix} 12 & 14 & -1 \\ 5 & -2 & -31 \end{pmatrix}$, $CA = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 13 \\ 6 & 3 & 9 \\ -37 & -1 & -4 \end{pmatrix}$, $DC = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -2 \\ 14 & 16 \end{pmatrix}$, $BD = \begin{pmatrix} 17 & 14 & -11 \end{pmatrix}$

3. (1) $rank(A) = 2$

(2) 正則行列ではない
(3) a=2a = 2
(4) (xyz)=(1130)+t(3231)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{3} \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -3 \\ \frac{2}{3} \\ 1 \end{pmatrix}

4. (1) ${}^tB = B$

(2) tC=C{}^tC = -C
(3) B=(16726017218)B = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -\frac{7}{2} \\ 6 & 0 & 1 \\ -\frac{7}{2} & 1 & 8 \end{pmatrix}, C=(01121001200)C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ -1 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 \end{pmatrix}

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