この問題は線形代数の問題で、以下の6つの問いに答える必要があります。 * 第1問：行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 3 & 8 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$ の階数 rank A を求める。 * 第2問：行列 $\begin{pmatrix} 2 & -6 & -3 & -2 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 9 & 9 & -6 \end{pmatrix}$ を簡約化して得られる簡約行列の (1, 2) 成分を求める。 * 第3問：同次連立一次方程式 $ \begin{cases} 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 0 \\ -6x_1 - 9x_2 + 3x_3 = 0 \\ 4x_1 + 6x_2 - 2x_3 = 0 \end{cases}$ の解を記述するのに必要な任意定数の個数を求める。 * 第4問：行列 $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ の逆行列 $B^{-1}$ の (3, 1) 成分を求める。 * 第5問：原点O、点A(1, 7)、点B(3, 9) が作る三角形の面積を求める。 * 第6問：原点O、点A(1, 5, 5)、点B(2, 6, 6)、点C(3, 1, 7) が作る四面体の体積を求める。

1. 問題の内容

この問題は線形代数の問題で、以下の6つの問いに答える必要があります。

* 第1問：行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 3 & 8 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$ の階数 rank A を求める。

* 第2問：行列 $\begin{pmatrix} 2 & -6 & -3 & -2 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 9 & 9 & -6 \end{pmatrix}$ を簡約化して得られる簡約行列の (1, 2) 成分を求める。

* 第3問：同次連立一次方程式 $\begin{cases} 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 0 \\ -6x_1 - 9x_2 + 3x_3 = 0 \\ 4x_1 + 6x_2 - 2x_3 = 0 \end{cases}$ の解を記述するのに必要な任意定数の個数を求める。

* 第4問：行列 $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ の逆行列 $B^{-1}$ の (3, 1) 成分を求める。

* 第5問：原点O、点A(1, 7)、点B(3, 9) が作る三角形の面積を求める。

* 第6問：原点O、点A(1, 5, 5)、点B(2, 6, 6)、点C(3, 1, 7) が作る四面体の体積を求める。

2. 解き方の手順

* 第1問：行列 $A$ の階数は、行基本変形を行って階段行列にしたときの、0でない行の数です。

$A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 3 & 8 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$

行基本変形を行います。

1行目を1/4倍すると

$\begin{pmatrix} 1 & 7/4 \\ 3 & 8 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の3倍を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & 7/4 \\ 0 & 11/4 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$

3行目に1行目の2倍を加えると

$\begin{pmatrix} 1 & 7/4 \\ 0 & 11/4 \\ 0 & 17/2 \end{pmatrix}$

2行目を4/11倍すると

$\begin{pmatrix} 1 & 7/4 \\ 0 & 1 \\ 0 & 17/2 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の17/2倍を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & 7/4 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

よって階数は2です。

* 第2問：与えられた行列を簡約化し、(1, 2)成分を特定します。

$\begin{pmatrix} 2 & -6 & -3 & -2 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 9 & 9 & -6 \end{pmatrix}$

1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 2 & -6 & -3 & -2 \\ 3 & 9 & 9 & -6 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & -12 & -7 & -2 \\ 3 & 9 & 9 & -6 \end{pmatrix}$

3行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & -12 & -7 & -2 \\ 0 & 0 & 3 & -6 \end{pmatrix}$

2行目を-1/12倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 7/12 & 1/6 \\ 0 & 0 & 3 & -6 \end{pmatrix}$

3行目を1/3倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 7/12 & 1/6 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

1行目から2行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1/4 & -1/2 \\ 0 & 1 & 7/12 & 1/6 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

1行目から3行目の1/4倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 7/12 & 1/6 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

2行目から3行目の7/12倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

簡約行列の(1,2)成分は0です。

* 第3問：与えられた連立方程式を解き、自由変数の数を求めます。

$\begin{cases} 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 0 \\ -6x_1 - 9x_2 + 3x_3 = 0 \\ 4x_1 + 6x_2 - 2x_3 = 0 \end{cases}$

2番目と3番目の式は最初の式の定数倍なので、独立な式は1つだけです。

$2x_1 + 3x_2 - x_3 = 0$

$x_1 = -\frac{3}{2}x_2 + \frac{1}{2}x_3$

$x_2$と$x_3$は自由変数なので、任意定数は2個必要です。

* 第4問：与えられた行列 $B$ の逆行列の (3, 1) 成分を求めます。

$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

逆行列の (3, 1) 成分は、行列式の計算と余因子展開によって求められます。

$B^{-1}_{31} = \frac{C_{13}}{|B|}$ ここで、$C_{13}$は(1,3)余因子を表し、$|B|$は行列式を表します。

$|B| = 1(0\cdot(-2) - 1\cdot1) - 2((-1)\cdot(-2) - 1\cdot2) + (-2)((-1)\cdot1 - 0\cdot2) = 1(-1) - 2(0) + (-2)(-1) = -1 + 0 + 2 = 1$

$C_{13} = (-1)^{1+3}\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot((-1)\cdot1 - 0\cdot2) = -1$

よって、

$B^{-1}_{31} = \frac{-1}{1} = -1$

* 第5問：与えられた点 O(0, 0), A(1, 7), B(3, 9) が作る三角形の面積を求めます。

$S = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} \right| = \frac{1}{2} |(1\cdot9 - 3\cdot7)| = \frac{1}{2} |9 - 21| = \frac{1}{2} |-12| = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$

* 第6問：与えられた点 O(0, 0, 0), A(1, 5, 5), B(2, 6, 6), C(3, 1, 7) が作る四面体の体積を求めます。

$V = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 6 & 1 \\ 5 & 6 & 7 \end{vmatrix} \right| = \frac{1}{6} |1(6\cdot7 - 1\cdot6) - 2(5\cdot7 - 1\cdot5) + 3(5\cdot6 - 6\cdot5)| = \frac{1}{6} |1(42 - 6) - 2(35 - 5) + 3(30 - 30)| = \frac{1}{6} |36 - 60 + 0| = \frac{1}{6} |-24| = \frac{1}{6} \cdot 24 = 4$

3. 最終的な答え

* 第1問：2

* 第2問：0

* 第3問：2

* 第4問：-1

* 第5問：6

* 第6問：4