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## 1. 問題の内容

代数学行列行列演算連立方程式階数正則行列対称行列交代行列
2025/7/25
##

1. 問題の内容

1. 与えられた行列 $A$ と $B$ について、$AB-BA$、$(A+B)(A-B)$、${}^tAA + {}^tBB$ を計算します。

2. 与えられた行列 $A, B, C, D$ のうち、積が定義できる組み合わせを見つけ、その積を計算します。

3. 連立方程式 $\begin{cases} x + 3z = 1 \\ 2x + 3y + 4z = 3 \\ x + 3y + z = a \end{cases}$ について、係数行列 $A$ の階数 $\text{rank}(A)$ を求め、正則行列かどうかを判定し、解を持つような定数 $a$ の値を求め、その時の解を求めます。

4. 与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & -3 \\ 5 & 0 & 1 \\ -4 & 1 & 8 \end{pmatrix}$ について、対称行列と交代行列の定義を書き、行列 $A$ を対称行列 $B$ と交代行列 $C$ の和で表します。

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2. 解き方の手順

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1. 行列 $A$ と $B$ について

A=(10025−16−32),B=(3241−30061)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix}
(1) AB−BAAB - BA
まず、ABAB と BABA を計算します。
AB=(10025−16−32)(3241−30061)=(32411−177153326)AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 11 & -17 & 7 \\ 15 & 33 & 26 \end{pmatrix}
BA=(3241−30061)(10025−16−32)=(31−26−5−1531827−4)BA = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 31 & -2 & 6 \\ -5 & -15 & 3 \\ 18 & 27 & -4 \end{pmatrix}
したがって、AB−BA=(32411−177153326)−(31−26−5−1531827−4)=(−284−216−24−3630)AB - BA = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 11 & -17 & 7 \\ 15 & 33 & 26 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 31 & -2 & 6 \\ -5 & -15 & 3 \\ 18 & 27 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -28 & 4 & -2 \\ 16 & -2 & 4 \\ -3 & 6 & 30 \end{pmatrix}
(2) (A+B)(A−B)(A+B)(A-B)
まず、A+BA+B と A−BA-B を計算します。
A+B=(10025−16−32)+(3241−30061)=(42432−1633)A+B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & -1 \\ 6 & 3 & 3 \end{pmatrix}
A−B=(10025−16−32)−(3241−30061)=(−2−2−418−16−91)A-B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -2 & -4 \\ 1 & 8 & -1 \\ 6 & -9 & 1 \end{pmatrix}
したがって、(A+B)(A−B)=(42432−1633)(−2−2−418−16−91)=(18−24−12−2−19−159−21−24)(A+B)(A-B) = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & -1 \\ 6 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & -2 & -4 \\ 1 & 8 & -1 \\ 6 & -9 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & -24 & -12 \\ -2 & -19 & -15 \\ 9 & -21 & -24 \end{pmatrix}
(3) tAA+tBB{}^tAA + {}^tBB
まず、tA{}^tA と tB{}^tB を計算します。
tA=(12605−30−12),tB=(3102−36401){}^tA = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 0 & 5 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad {}^tB = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 6 \\ 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}
tAA=(12605−30−12)(10025−16−32)=(41−810−834−1110−115){}^tAA = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 0 & 5 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 41 & -8 & 10 \\ -8 & 34 & -11 \\ 10 & -11 & 5 \end{pmatrix}
tBB=(3102−36401)(3241−30061)=(1031234714121417){}^tBB = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 6 \\ 4 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 3 & 12 \\ 3 & 47 & 14 \\ 12 & 14 & 17 \end{pmatrix}
したがって、tAA+tBB=(41−810−834−1110−115)+(1031234714121417)=(51−522−581322322){}^tAA + {}^tBB = \begin{pmatrix} 41 & -8 & 10 \\ -8 & 34 & -11 \\ 10 & -11 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 & 3 & 12 \\ 3 & 47 & 14 \\ 12 & 14 & 17 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 51 & -5 & 22 \\ -5 & 81 & 3 \\ 22 & 3 & 22 \end{pmatrix}
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2. 行列の積が定義できる組み合わせ

A(2×3),B(2×3),C(3×2),D(3×2)A(2 \times 3), B(2 \times 3), C(3 \times 2), D(3 \times 2)
積が定義できる組み合わせは以下の通りです。
* ACAC
* ADAD
* BCBC
* BDBD
* CACA
* CBCB
* DADA
* DBDB
AC=(213−501)(4130−17)=(823−212)AC = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 0 \\ -1 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 23 \\ -21 & 2 \end{pmatrix}
AD=(213−501)(015−32153−6)=(1213−75−2−31)AD = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 13 & -7 \\ 5 & -2 & -31 \end{pmatrix}
BC=(514)(4130−17)BC = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 0 \\ -1 & 7 \end{pmatrix} : これは計算できません。Bは (1×3)(1 \times 3) で、Cは (3×2)(3 \times 2) なので、積は定義できません。
BD=(514)(015−32153−6)=(17192)BD = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 & 19 & 2 \end{pmatrix}
CA=(4130−17)(213−501)=(3413639−37−14)CA = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 0 \\ -1 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 13 \\ 6 & 3 & 9 \\ -37 & -1 & 4 \end{pmatrix}
CB=(4130−17)(514)CB = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 0 \\ -1 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 1 & 4 \end{pmatrix} : これは計算できません。Cは (3×2)(3 \times 2) で、Bは (1×3)(1 \times 3) なので、積は定義できません。
DA=(015−32153−6)(213−501)=(−30−5−15−16−3−64522)DA = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -30 & -5 & -15 \\ -16 & -3 & -6 \\ 4 & 5 & 22 \end{pmatrix}
DB=(015−32153−6)(514)DB = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 1 & 4 \end{pmatrix} : これは計算できません。Dは (3×2)(3 \times 2) で、Bは (1×3)(1 \times 3) なので、積は定義できません。
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3. 連立方程式

{x+3z=12x+3y+4z=3x+3y+z=a\begin{cases} x + 3z = 1 \\ 2x + 3y + 4z = 3 \\ x + 3y + z = a \end{cases}
(1) 係数行列 AA の階数 rank(A)\text{rank}(A) を求める。
A=(103234131)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}
行列式を計算します。
det⁡(A)=1(3−12)−0+3(6−3)=−9+9=0\det(A) = 1(3-12) - 0 + 3(6-3) = -9 + 9 = 0
したがって、rank(A)<3\text{rank}(A) < 3 です。
次に、2×22 \times 2 の小行列式を計算します。
∣1023∣=3≠0\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 \neq 0
したがって、rank(A)=2\text{rank}(A) = 2
(2) AA は正則行列か。
det⁡(A)=0\det(A) = 0 より、AA は正則行列ではありません。
(3) この連立方程式が解を持つように定数 aa の値を求める。
拡大係数行列を作ります。
(10312343131a)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 1 & a \end{pmatrix}
行基本変形を行います。
(103103−2103−2a−1)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -2 & a-1 \end{pmatrix} (R2←R2−2R1R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1, R3←R3−R1R_3 \leftarrow R_3 - R_1)
(103103−21000a−2)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & a-2 \end{pmatrix} (R3←R3−R2R_3 \leftarrow R_3 - R_2)
解を持つためには、a−2=0a-2 = 0 である必要があるので、a=2a = 2
(4) 上の (3) で求めた定数 aa のとき、連立方程式の解を全て求める。
a=2a = 2 のとき、
{x+3z=13y−2z=1\begin{cases} x + 3z = 1 \\ 3y - 2z = 1 \end{cases}
z=tz = t とすると、
x=1−3tx = 1 - 3t
y=1+2t3y = \frac{1 + 2t}{3}
したがって、解は (x,y,z)=(1−3t,1+2t3,t)(x, y, z) = (1 - 3t, \frac{1 + 2t}{3}, t)
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4. 行列 $A$ について

A=(17−3501−418)A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & -3 \\ 5 & 0 & 1 \\ -4 & 1 & 8 \end{pmatrix}
(1) 行列 BB が対称行列であることの定義を書きなさい。
対称行列 BB とは、tB=B{}^tB = B を満たす行列のことです。つまり、BB の (i,j)(i, j) 成分と (j,i)(j, i) 成分が等しい行列のことです。
(2) 行列 CC が交代行列であることの定義を書きなさい。
交代行列 CC とは、tC=−C{}^tC = -C を満たす行列のことです。つまり、CC の (i,j)(i, j) 成分と (j,i)(j, i) 成分が互いに −1-1 倍の関係にあり、対角成分がすべて 00 である行列のことです。
(3) 行列 AA を対称行列 BB と交代行列 CC の和で表しなさい。
A=B+CA = B + C となるように、BB と CC を求めます。
B=A+tA2,C=A−tA2B = \frac{A + {}^tA}{2}, \quad C = \frac{A - {}^tA}{2}
tA=(15−4701−318){}^tA = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -4 \\ 7 & 0 & 1 \\ -3 & 1 & 8 \end{pmatrix}
B=12(1+17+5−3−45+70+01+1−4−31+18+8)=12(212−71202−7216)=(16−7/2601−7/218)B = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+1 & 7+5 & -3-4 \\ 5+7 & 0+0 & 1+1 \\ -4-3 & 1+1 & 8+8 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 12 & -7 \\ 12 & 0 & 2 \\ -7 & 2 & 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -7/2 \\ 6 & 0 & 1 \\ -7/2 & 1 & 8 \end{pmatrix}
C=12(1−17−5−3+45−70−01−1−4+31−18−8)=12(021−200−100)=(011/2−100−1/200)C = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1-1 & 7-5 & -3+4 \\ 5-7 & 0-0 & 1-1 \\ -4+3 & 1-1 & 8-8 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1/2 \\ -1 & 0 & 0 \\ -1/2 & 0 & 0 \end{pmatrix}
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3. 最終的な答え

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1. (1) $AB - BA = \begin{pmatrix} -28 & 4 & -2 \\ 16 & -2 & 4 \\ -3 & 6 & 30 \end{pmatrix}$

(2) (A+B)(A−B)=(18−24−12−2−19−159−21−24)(A+B)(A-B) = \begin{pmatrix} 18 & -24 & -12 \\ -2 & -19 & -15 \\ 9 & -21 & -24 \end{pmatrix}
(3) tAA+tBB=(51−522−581322322){}^tAA + {}^tBB = \begin{pmatrix} 51 & -5 & 22 \\ -5 & 81 & 3 \\ 22 & 3 & 22 \end{pmatrix}
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2. $AC = \begin{pmatrix} 8 & 23 \\ -21 & 2 \end{pmatrix}$

AD=(1213−75−2−31)AD = \begin{pmatrix} 12 & 13 & -7 \\ 5 & -2 & -31 \end{pmatrix}
BD=(17192)BD = \begin{pmatrix} 17 & 19 & 2 \end{pmatrix}
CA=(3413639−37−14)CA = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 13 \\ 6 & 3 & 9 \\ -37 & -1 & 4 \end{pmatrix}
DA=(−30−5−15−16−3−64522)DA = \begin{pmatrix} -30 & -5 & -15 \\ -16 & -3 & -6 \\ 4 & 5 & 22 \end{pmatrix}
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3. (1) $\text{rank}(A) = 2$

(2) AA は正則行列ではない。
(3) a=2a = 2
(4) (x,y,z)=(1−3t,1+2t3,t)(x, y, z) = (1 - 3t, \frac{1 + 2t}{3}, t)
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4. (1) 対称行列 $B$ とは、${}^tB = B$ を満たす行列のことです。

(2) 交代行列 CC とは、tC=−C{}^tC = -C を満たす行列のことです。
(3) A=(16−7/2601−7/218)+(011/2−100−1/200)A = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -7/2 \\ 6 & 0 & 1 \\ -7/2 & 1 & 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1/2 \\ -1 & 0 & 0 \\ -1/2 & 0 & 0 \end{pmatrix}

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