与えられた行列$A, B, C, D$について、行列の演算や連立方程式に関するいくつかの問題を解く。具体的には、行列の積の計算、連立方程式の解の存在条件と解の導出、行列の対称行列と交代行列への分解などを行う。

1. 問題の内容

与えられた行列$A, B, C, D$について、行列の演算や連立方程式に関するいくつかの問題を解く。具体的には、行列の積の計算、連立方程式の解の存在条件と解の導出、行列の対称行列と交代行列への分解などを行う。

2. 解き方の手順

問題文に複数の問題が含まれているため、順に解答する。

**問題1:**

(1) $AB-BA$を計算する。まず、$AB$と$BA$を計算し、その差を求める。

(2) $(A+B)(A-B)$を計算する。まず、$A+B$と$A-B$を計算し、その積を求める。

(3) $AA + {}^{t}BB$を計算する。まず、$AA$を計算し、$B$の転置行列${}^{t}B$を計算し、${}^{t}BB$を計算し、最後にそれらの和を求める。

**問題2:**

行列の積が定義できる組をすべて挙げる。行列の積$XY$が定義できるのは、$X$の列数と$Y$の行数が等しいときである。行列$A, B, C, D$のサイズを確認し、積が定義できる組み合わせを見つける。定義できる組み合わせについて、行列の積を計算する。$A$は3x3行列、$B$は3x2行列、$C$は3x2行列、$D$は2x3行列である。したがって、$AB$, $AD$, $BC$, $CD$は積が定義できる。

**問題3:**

連立方程式

\begin{cases}

x + 3z = 1 \\

2x + 3y + 4z = 3 \\

x + 3y + z = a

\end{cases}

について、以下の問題を解く。

(1) 係数行列$A$の階数$rank(A)$を求める。係数行列は

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

である。行列$A$を簡約化し、rank(A)を求める。

(2) $A$は正則行列か。正方行列$A$の行列式を計算し、0でなければ$A$は正則行列である。

(3) 連立方程式が解を持つように定数$a$の値を求める。拡大係数行列を作成し、簡約化された行階段形に変換することで、解の存在条件を決定する。

(4) 上の(3)で求めた定数$a$のとき、連立方程式の解を全て求める。

**問題4:**

行列$A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & -3 \\ 5 & 0 & 1 \\ -4 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

について、以下の問題を解く。

(1) 行列$B$が対称行列であることの定義を書く。対称行列とは、転置行列が元の行列と等しい行列のことである。つまり、$B = {}^{t}B$を満たす。

(2) 行列$C$が交代行列であることの定義を書く。交代行列とは、転置行列が元の行列の符号を反転させた行列と等しい行列のことである。つまり、$C = -{}^{t}C$を満たす。

(3) 行列$A$を対称行列$B$と交代行列$C$の和で表す。$B = \frac{1}{2}(A + {}^{t}A)$, $C = \frac{1}{2}(A - {}^{t}A)$として計算する。

3. 最終的な答え

(具体的な数値計算と答えは省略)

問題1：

(1) $AB-BA$ = (計算結果)

(2) $(A+B)(A-B)$ = (計算結果)

(3) $AA + {}^{t}BB$ = (計算結果)

問題2：

積が定義できる組：$AB$, $AD$, $BC$, $CD$

$AB$ = (計算結果)

$AD$ = (計算結果)

$BC$ = (計算結果)

$CD$ = (計算結果)

問題3：

(1) $rank(A)$ = (計算結果)

(2) $A$は(正則/正則でない)

(3) $a$ = (計算結果)

(4) 解：$x$ = (計算結果), $y$ = (計算結果), $z$ = (計算結果)

問題4：

(1) $B = {}^{t}B$

(2) $C = -{}^{t}C$

(3) $B$ = (計算結果), $C$ = (計算結果)

$A = B + C$